为什么 Keras/tensorflow 的 sigmoid 和交叉熵精度低？

Question

我有以下简单的神经网络（只有 1 个神经元）来测试 Keras 的sigmoidactivation 和binary_crossentropy 的计算精度：

model = Sequential()
model.add(Dense(1, input_dim=1, activation='sigmoid'))
model.compile(loss='binary_crossentropy', optimizer='adam', metrics=['accuracy'])

为了简化测试，我手动将唯一权重设置为1，偏差设置为0，然后用2点训练集{(-a, 0), (a, 1)}评估模型，即

y = numpy.array([0, 1])
for a in range(40):
    x = numpy.array([-a, a])
    keras_ce[a] = model.evaluate(x, y)[0] # cross-entropy computed by keras/tensorflow
    my_ce[a] = np.log(1+exp(-a)) # My own computation

我的问题：我发现 Keras/Tensorflow 计算的二元交叉熵 (keras_ce) 在 a 约为16，如下图所示（蓝线）。随着'a'不断增长，它不会进一步减少。这是为什么？

这个神经网络只有 1 个神经元，其权重设置为 1，偏差为 0。使用 2 点训练集 {(-a, 0), (a, 1)}，binary_crossentropy 只是

-1/2 [ log(1 - 1/(1+exp(a)) ) + log( 1/(1+exp(-a)) ) ] = log(1+exp(-a))

所以交叉熵应该随着a 的增加而减少，如上面橙色（'my'）所示。我可以更改一些 Keras/Tensorflow/Python 设置以提高其精度吗？还是我在某个地方弄错了？如有任何建议/cmets/answers，我将不胜感激。

Answer 1

TL;DR 版本：在计算损失函数时，由于数值稳定性，概率值（即 sigmoid 函数的输出）被裁剪。

---

如果您检查源代码，您会发现使用binary_crossentropy 作为损失会导致在losses.py 文件中调用binary_crossentropy 函数：

def binary_crossentropy(y_true, y_pred):
    return K.mean(K.binary_crossentropy(y_true, y_pred), axis=-1)

如您所见，它又调用等效的后端函数。如果使用 Tensorflow 作为后端，这将导致在 tensorflow_backend.py 文件中调用 binary_crossentropy 函数：

def binary_crossentropy(target, output, from_logits=False):
    """ Docstring ..."""

    # Note: tf.nn.sigmoid_cross_entropy_with_logits
    # expects logits, Keras expects probabilities.
    if not from_logits:
        # transform back to logits
        _epsilon = _to_tensor(epsilon(), output.dtype.base_dtype)
        output = tf.clip_by_value(output, _epsilon, 1 - _epsilon)
        output = tf.log(output / (1 - output))

    return tf.nn.sigmoid_cross_entropy_with_logits(labels=target,
                                                   logits=output)

如您所见，from_logits 参数默认设置为False。因此，if 条件的计算结果为真，因此输出中的值被裁剪到[epsilon, 1-epislon] 范围内。这就是为什么无论概率大小，它都不能小于epsilon，也不能大于1-epsilon。这就解释了为什么binary_crossentropy loss 的输出也是有界的。

现在，这里的 epsilon 是什么？这是一个非常小的常数，用于数值稳定性（例如，防止被零除或未定义的行为等）。要找出它的价值，您可以进一步检查源代码，您可以在 common.py 文件中找到它：

_EPSILON = 1e-7

def epsilon():
    """Returns the value of the fuzz factor used in numeric expressions.
    # Returns
        A float.
    # Example
    ```python
        >>> keras.backend.epsilon()
        1e-07
    ```
    """
    return _EPSILON

如果出于任何原因，您希望获得更高的精度，您也可以使用后端的 set_epsilon 函数将 epsilon 值设置为更小的常数：

def set_epsilon(e):
    """Sets the value of the fuzz factor used in numeric expressions.
    # Arguments
        e: float. New value of epsilon.
    # Example
    ```python
        >>> from keras import backend as K
        >>> K.epsilon()
        1e-07
        >>> K.set_epsilon(1e-05)
        >>> K.epsilon()
        1e-05
    ```
    """
    global _EPSILON
    _EPSILON = e

但是，请注意，将 epsilon 设置为极低的正值或零，可能会破坏整个 Keras 计算的稳定性。

Answer 2

我认为keras考虑到数值稳定性， 让我们跟踪keras 是如何计算的

首先，

def binary_crossentropy(y_true, y_pred):
    return K.mean(K.binary_crossentropy(y_true, y_pred), axis=-1)

那么，

def binary_crossentropy(target, output, from_logits=False):
    """Binary crossentropy between an output tensor and a target tensor.

    # Arguments
        target: A tensor with the same shape as `output`.
        output: A tensor.
        from_logits: Whether `output` is expected to be a logits tensor.
            By default, we consider that `output`
            encodes a probability distribution.

    # Returns
        A tensor.
    """
    # Note: tf.nn.sigmoid_cross_entropy_with_logits
    # expects logits, Keras expects probabilities.
    if not from_logits:
        # transform back to logits
        _epsilon = _to_tensor(epsilon(), output.dtype.base_dtype)
        output = tf.clip_by_value(output, _epsilon, 1 - _epsilon)
        output = tf.log(output / (1 - output))


    return tf.nn.sigmoid_cross_entropy_with_logits(labels=target,
                                                   logits=output)

注意tf.clip_by_value 用于数值稳定性

让我们比较一下 keras binary_crossentropy、tensorflow tf.nn.sigmoid_cross_entropy_with_logits 和自定义损失函数（eleminate vale clipping）

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import tensorflow as tf
from keras.models import Sequential
from keras.layers import Dense
import keras

# keras
model = Sequential()
model.add(Dense(units=1, activation='sigmoid', input_shape=(
    1,), weights=[np.ones((1, 1)), np.zeros(1)]))
# print(model.get_weights())
model.compile(loss='binary_crossentropy',
              optimizer='adam', metrics=['accuracy'])

# tensorflow
G = tf.Graph()
with G.as_default():
    x_holder = tf.placeholder(dtype=tf.float32, shape=(2,))
    y_holder = tf.placeholder(dtype=tf.float32, shape=(2,))
    entropy = tf.reduce_mean(tf.nn.sigmoid_cross_entropy_with_logits(
        logits=x_holder, labels=y_holder))
sess = tf.Session(graph=G)


# keras with custom loss function
def customLoss(target, output):
    # if not from_logits:
    #     # transform back to logits
    #     _epsilon = _to_tensor(epsilon(), output.dtype.base_dtype)
    #     output = tf.clip_by_value(output, _epsilon, 1 - _epsilon)
    #     output = tf.log(output / (1 - output))
    output = tf.log(output / (1 - output))
    return tf.nn.sigmoid_cross_entropy_with_logits(labels=target,
                                                   logits=output)
model_m = Sequential()
model_m.add(Dense(units=1, activation='sigmoid', input_shape=(
    1,), weights=[np.ones((1, 1)), np.zeros(1)]))
# print(model.get_weights())
model_m.compile(loss=customLoss,
                optimizer='adam', metrics=['accuracy'])


N = 100
xaxis = np.linspace(10, 20, N)
keras_ce = np.zeros(N)
tf_ce = np.zeros(N)
my_ce = np.zeros(N)
keras_custom = np.zeros(N)

y = np.array([0, 1])
for i, a in enumerate(xaxis):
    x = np.array([-a, a])
    # cross-entropy computed by keras/tensorflow
    keras_ce[i] = model.evaluate(x, y)[0]
    my_ce[i] = np.log(1+np.exp(-a))  # My own computation
    tf_ce[i] = sess.run(entropy, feed_dict={x_holder: x, y_holder: y})
    keras_custom[i] = model_m.evaluate(x, y)[0]
# print(model.get_weights())

plt.plot(xaxis, keras_ce, label='keras')
plt.plot(xaxis, my_ce, 'b',  label='my_ce')
plt.plot(xaxis, tf_ce, 'r:', linewidth=5, label='tensorflow')
plt.plot(xaxis, keras_custom, '--', label='custom loss')
plt.xlabel('a')
plt.ylabel('xentropy')
plt.yscale('log')
plt.legend()
plt.savefig('compare.jpg')
plt.show()

我们可以看到 tensorflow 与手动计算是一样的，但是自定义 loss 的 keras 会遇到预期的数字溢出。