使用第二矩找到图像对象的封闭矩形

Question

我的理解是第二个中心时刻应该给我一个对象的方差。我应该能够将其用作对象中心像素分布的度量，因此我认为我可以使用第二个矩找到对象的封闭矩形的大​​小。 假设在 Malab 中，我创建了一个尺寸为 100x200 的白色矩形的图像，并使用第一时刻找到质心，然后我计算方差

im = zeros(501,400);
im(200:300,100:300) = ones(101,201);
%Sum the moments in a for loop for clarity
for v = 1:rows  
  for u = 1:cols
    val = im(v,u);
    %zeroth moment is just the total pixel count
    m00 = m00 + val;        
    %First moments. pixel value times position is the m10 and m01
    m01 = m01 + (val * v);
    m10 = m10 + (val * u);
   end
end
%centers of mass
uc = m10/m00;
vc = m01/m00;
%Now I find the second central moments wrt centroid 
for v = 1:rows  
  for u = 1:cols
    val = im(v,u);
    u02 = u02 + (v - vc)^2 * val;
    u20 = u20 + (u - uc)^2 * val;
  end
end
hold on;
plot(uc,vc, 'r+');
text(uc + 5,vc + 5,strcat('X:',num2str(uc)),'Color','green','FontSize',12);
text(uc + 5,vc + 20,strcat('Y:',num2str(vc)),'Color','green','FontSize',12);

我对 u02 的值是 17255850，其平方根是 4154。有没有办法可以使用方差直接得到矩形的近似大小？感谢您的帮助。

编辑：尝试使用协方差矩阵拟合椭圆，并尝试使用 cmets 中讨论的方差计算大小，我得到下图。黄色矩形的尺寸是用

计算的

  %can we estimate size based on standard deviation?
stdX = sqrt(u20/m00);
stdY = sqrt(u02/m00);
rectangle('Position',[uc-2*stdX vc-2*stdY 4*stdX 4*stdY],'EdgeColor','yellow');

Answer 1

计算标准化二阶中心矩后，您会得到如下矩阵：

| u20/m00  u11/m00 |
| u11/m00  u02/m00 |

此矩阵的两个特征值提供对象尺寸的旋转不变测量。

%Normalized second order central moment tensor
mu = [u02/m00, u11/m00; u11/m00, u20/m00];
%The eigenvalues relate to the size
[V,D] = eig(mu);
l1 = D(1,1);
l2 = D(2,2);
%The eigenvectors relate to the orientation
phi = atan2(V(1,2),V(1,1));

给定特征值，我们可以确定具有相同归一化二阶中心矩的椭圆的半径：

a = 2*sqrt(l1);
b = 2*sqrt(l2);

请注意，这仅适用于 a solid ellipse。

对于“最佳”的某些定义，可以将其视为最佳拟合椭圆。

我们无法确定这些值的任意形状的大小，但如果我们知道我们的形状是一个矩形，那么我们可以通过知道二维矩形的惯性矩来确定它的大小（参见@987654322 @):

| 1/12 m h^2       0     |
|      0      1/12 m w^2 |

m 是质量，在我们的例子中是 1，因为我们已经对矩进行了归一化。

因此，

w = sqrt(12*l1);
h = sqrt(12*l2);

这给了我们w = 100.9950 和h = 200.9975 用于 OP 中的案例。