(rho/theta) 参数化中定义的两条线的交点答案

【问题标题】：Intersection of two lines defined in (rho/theta ) parameterization(rho/theta) 参数化中定义的两条线的交点
【发布时间】：2010-09-27 20:42:36
【问题描述】：

已经创建了 Hough 变换的 C++ 实现，用于检测图像中的线条。找到的行使用 rho、theta 表示，如 wikipedia 上所述：

“参数r代表直线到原点的距离，而θ是向量从原点到这个最近点的夹角”

如何在 x, y 空间中找到使用 r, θ 描述的两条线的交点？

以下是我目前用于转换进出霍夫空间的函数供参考：

//get 'r' (length of a line from pole (corner, 0,0, distance from center) perpendicular to a line intersecting point x,y at a given angle) given the point and the angle (in radians)
inline float point2Hough(int x, int y, float theta) {
    return((((float)x)*cosf(theta))+((float)y)*sinf(theta));
}

//get point y for a line at angle theta with a distance from the pole of r intersecting x? bad explanation! >_<
inline float hough2Point(int x, int r, float theta) {
    float y;
    if(theta!=0) {
            y=(-cosf(theta)/sinf(theta))*x+((float)r/sinf(theta));
    } else {
            y=(float)r; //wth theta may == 0?!
    }
    return(y);
}

如果这是显而易见的事情，请提前抱歉..

【问题讨论】：

标签： c math image-processing geometry

【解决方案1】：

查看Wikipedia page，我看到给定给定r，θ对对应的直线方程是

r = x cosθ + y sinθ

因此，如果我理解的话，给定两对 r1, θ1 和 r2, θ2，要找到交点，您必须通过以下线性 2x2 系统求解未知数 x,y：

x cos θ1 + y sin θ1 = r1
x cos θ2 + y sin θ2 = r2

即 AX = b，其中

A = [cos θ1 sin θ1] b = |r1| X = |x|
    [cos θ2 sin θ2] |r2| |是|

【讨论】：

小心，这个解决方案是不完整的。对于平行或重合的线没有解决方案。 @eirsu（下）的答案效果更好。

【解决方案2】：

以前从未遇到过矩阵数学，因此进行了一些研究和实验来制定 Fredrico 答案的过程。谢谢，无论如何都需要学习矩阵。 ^^

查找两条参数化线相交位置的函数：

//Find point (x,y) where two parameterized lines intersect :p Returns 0 if lines are parallel 
int parametricIntersect(float r1, float t1, float r2, float t2, int *x, int *y) {
    float ct1=cosf(t1);     //matrix element a
    float st1=sinf(t1);     //b
    float ct2=cosf(t2);     //c
    float st2=sinf(t2);     //d
    float d=ct1*st2-st1*ct2;        //determinative (rearranged matrix for inverse)
    if(d!=0.0f) {   
            *x=(int)((st2*r1-st1*r2)/d);
            *y=(int)((-ct2*r1+ct1*r2)/d);
            return(1);
    } else { //lines are parallel and will NEVER intersect!
            return(0);
    }
}

【讨论】：