图寻路算法变体

Question

我正在寻找一种算法，该算法将无向图作为输入并找到一个顶点子集，以便由这些顶点诱导的子图形成一个连接的无环树。

例如，在下图中，“X”节点会创建一个有效的解决方案，但包含任何“O”节点都会使其无效。

    O
   /|
O-X-X-X
 \ /
  X-X

解决方案对我的有用性与子集的大小成正比。虽然我不需要整个最大子集，但一个近似值会很有帮助。

我已经尝试了从随机节点开始并添加相邻顶点（如果它们不引发循环）的明显算法。但是，我觉得这会产生非常次优的树。

我应该提到我的特定应用程序涉及约 100 个节点和约 1000 条边的图。这足够小，如果实施得当（例如使用Dancing Links，但我还没有尝试过，那么蛮力回溯算法可能是可行的。

Answer 1

这个问题被称为非常类似于Feedback Vertex Set，不幸的是它是NP-hard。根据 Wikipedia 页面，最知名的近似算法的 approximation ratio 为 2：Becker, Ann; Geiger, Dan (1996), "Optimization of Pearl's method of conditioning and greedy-like approximation algorithms for the vertex feedback set problem."。

“连接反馈顶点集”的 NP 硬度证明

我忽略了结果图需要连接的条件，反馈顶点集（FVS）不是这种情况。下面我将展示您的问题，我将其称为连接反馈顶点集 (CVFS)，但仍然是 NP-hard。

给定一个 FVS 的实例 (G = (V, E), k)，我们需要构造一个具有 (G, k) 是 FVS 的 YES 实例当且仅当 (G', k') 是 CFVS 的 YES 实例。非正式地，这个 G' 看起来像 G 的“一堆副本”，带有一些额外的顶点和边。让我们这样做：

对于 V 中的每个顶点 v_i，创建一个 |V| 的路径（不是一个团，正如我最初在 cmets 中所说的...） V' 中的顶点 v'_i_j，1

对于 E 中的每条边 (v_i, v_j)，创建所有 |V| G' 中对应顶点之间的对应“平行”边——即创建边 (v'_i_1, v'_j_1), (v'_i_2, v'_j_2), ..., (v'_i_|V |, v'_j_|V|)。 （这些边都连接同一层的顶点。）

对于 V 中的每个顶点 v_i，还要在 V' 中创建一个额外的“骨架顶点”u'_i。使这个 u'_i 与 v'_i_1 相邻。

将另一个顶点r添加到V'，并使其与每个骨架顶点u'_i相邻。

最后，设置 k' = |V|*k + |V| - 1.

首先，我将证明如果 FVS 实例 (G, k) 是 YES 实例，那么 (G', k') 就是您的问题的 YES 实例。令 X 是 FVS 实例 (G, k) 的任何解（即删除的顶点集），它使 G 的至少 1 个顶点未被删除（这样的解必须存在，因为 1 顶点图不包含环）；那么我们可以为您的问题实例构造一个解决方案 X'，如下所示：

1. 对于FVS解X中删除的每个顶点v_i，我们可以删除对应的路径v_i_1, ..., v_i_|V|从 G' 中以至多 |V|*k 的总成本（删除每条路径的成本为 |V| 顶点删除，并且 X 最多从 G 中删除 k 个顶点）。这保证了 G'-X' 中不会存在仅由肉顶点组成的循环（如果存在，这将与 FVS 解 X 到 (G, k) 的可行性相矛盾）。
2. 对于 FVS 解 X 中的每个连通分量，我们可以删除 G' 中除 1 个对应的骨架顶点之外的所有顶点。我们在 G' 中剩下的是一堆 |V| FVS 解决方案 G-X 的副本，加上该解决方案的每个组件的单个骨架顶点，加上根顶点 r。因为我们只有从每个连接的组件到 r 的单一路径（通过每个组件的单个骨架顶点），所以 G' 中不可能有循环。由于 G-X 至少包含 1 个连通分量，这可能涉及最多 |V|-1 个删除，所以最多 |V|*k + |V| - 总共需要 1 次删除，因此构建的 CFVS 实例 (G', k') 的答案是肯定的。

其次，我将证明，如果您的问题的构造实例 (G', k') 是 YES 实例，那么 FVS 的原始实例 (G, k) 是 YES 实例。

令 X' 是构造的 CFVS 实例 (G', k') 的任何解（即删除的顶点集）。考虑 G'-X' 中每一层肉顶点所引出的子图：有 |V|这样的层。一般来说，不同的层可能包含不同数量的删除。选择任何包含最少删除数量的层 j；因为 G'-X' 是无环的，所以每个诱导子图也是无环的，尤其包括第 j 层。第 j 层的删除数量最多为 k'/|V|，因为否则（通过 j 的最小选择）总体上将严格超过 k' 个删除，这是一个矛盾。但任何整数

(G, k) 是 FVS 的 YES 实例意味着 (G', k') 是 CFVS 的 YES 实例，反之亦然，因此 (G, k) 是 FVS 的 NO 实例意味着 ( G', k') 是 CFVS 的 NO 实例，因此问题实例是等价的。显然 (G', k') 可以在多项式时间内从 (G, k) 构造，因此可以得出 CVFS 是 NP-hard 的。这显然也是 NP 完全的，因为可以在 O(|V|+|E|) 时间内使用单个 DFS 检查 YES 实例的解决方案的正确性（即无循环性和连通性）。

Answer 2

这听起来像findingmaximum spanning tree，然后使用它的结构获取一个子集可能会有所帮助。

如果没有，试试这个：

1. 找到边数最少的节点。
2. 如果通过将其添加到子集中您仍然拥有一棵树，请将其标记为属于该子集并从图中“擦除”其所有边。
3. 重复第 1 步，直到无法添加不在子集中的所有节点。

希望对你有帮助