正则语言的定义

Question

我已经尝试并烧了我的大脑来理解Discrete Mathematics and its Applications(Rosen) 中的正则语言的定义，但没有达到理解为什么本书中的定义如此的目标。在第 (789) 页，我改写定义：

类型 3 语法定义为：

w1 --> w2

其中 w1 是非终结符，w2 的形式为：

w2 = aB
w2 = a

其中 B 是非终结符，a 是终结符。一个特殊情况是 w1 是起始符号而 w2 是 lambda（空字符串）：

w1 = S
S --> lambda

我找不到答案的两个问题。首先，为什么w2不能是Ba的形式。其次，为什么lambda只允许用于起始符号only。书中指出，常规语言相当于有限状态自动机，我们可以很容易地看到，我们可以为这两种情况构建 FSA。我查看了其他资源，这些资源中不存在这些限制。

Answer 1

首先，为什么 w2 不能是 Ba 的形式。

以下文法以W为起始符号：

W -> lambda
W -> aX
X -> Wb

它生成 {aⁿ bⁿ : n natural } 这不是常规语言。因此，如果您只想生成常规语言，则此限制是必不可少的。或者，您可以允许 w2 = Ba，但 禁止 w2 = aB 类型的规则 - 这也给出了常规语言。该语法将构建一个单词“backwards”。

如果您允许这两种类型的规则，您将获得一个名为 linear languages 的类。

第二，为什么 lambda 只允许用于起始符号。

这不是必要的限制。

您可以消除所有非终结符号的 lambda 用法：取一些规则 W -> lambda，删除它，然后将所有规则 U -> aW 替换为 U -> aW 和 U -> a。显然，您不能消除使用 lambda 作为终端符号（该语言不会再产生空字）。

因此，在许多地方使用 lambda 的每个类型 3 语法都可以“规范化”为仅将 lambda 用于起始符号的语法。