寻找最大最小值集

Question

我正在尝试编写一个（幼稚或半幼稚的）程序，它给定一组元素和许多玩家将其除以这个玩家数量，并且对于每个这样的除法取最小值（按总和) 子集。然后，我想计算所有这些最小除法的最大值。

这被称为https://en.wikipedia.org/wiki/Maximin_share。

例如，如果我们查看集合 {1,4,6}，我们可以将其划分为 2 个玩家，这样一个玩家收到 {1,4}，另一个收到 {6}，这里的最小值是 5。对于所有其他部门，很容易看出最小值将小于 5。

我想写一个序言谓词maximin(+Elements,+Players,-Value)，它给定一个Elements（正整数）列表和一些Players返回最大值Value。

我尝试了一个非常幼稚的方法：

1. 编写了一个计算某个除法的谓词。
2. 使用find all 查找所有部门。
3. 对于每个除法返回最小子集的值。
4. 计算其中的最大值。

但是，此程序仅适用于少量输入。例如，如果我将一个包含 10 个元素的列表 Elements 并尝试将其划分为 3 玩家，即使我尝试使用 @987654329 尽可能地增加程序内存，我也会收到堆栈外错误@。

我的代码：

% returns the smaller item
mini(A,B,B):- A > B.
mini(A,B,A):- A =< B.

% Returns the Sum of the minimal subset in a division (+,-)
min_subset_value([P1],Sum1):-subset_value(P1,Sum1).
min_subset_value([P1|RestP],Min) :-  RestP \= [], min_subset_value(RestP, OtherMin), subset_value(P1,A1)
                                     , mini(A1, OtherMin, Min).


% divide_to_players(+,+,-) : Generate a division of all the Elements to N subsets
divide_to_players([],N,EmptySets):- N>=1, generate_empty_sets(EmptySets,N).
divide_to_players(Elements, 1, [Elements]):-Elements \= [].
divide_to_players(Elements, N, [P1|RestP]):- N>1, Elements \= [], subseti(P1,Elements)
                                             , remove_subset(Elements,P1,OtherElements)
                                             , N1 is N-1
                                             , divide_to_players(OtherElements, N1, RestP).
% Generates all divisions (+,+,-)
generate_all_divisions(Elements,N,AllDivs) :- findall(Div,divide_to_players(Elements,N,Div),AllDivs).

% From all the given divisions, which one has the maximal minimal subset
find_max_division([],0).
find_max_division([Set1|RestSets],Max) :- find_max_division(RestSets, OtherMin)
                                         , min_subset_value(Set1,LocalMin)
                                         , maxi(LocalMin, OtherMin, Max).

% uses the previous functions as described above (+,+,-)
maximin_player(Elements,N,Maximin) :- generate_all_divisions(Elements,N,AllDiv)
                                     , find_max_division(AllDiv,Maximin).

但是，如果还有其他方法可以继续下去，我正在徘徊吗？也许在不使用findall 的情况下找到最大值？我只使用了findall，因为我没有更好的方法，所以我很高兴听到其他想法或方法来解决这个问题。

Answer 1

如果元素都是整数（即没有变量和浮点值）我相信这很好：

maximin(Elements, N, Maximin, LDistribution):-
  sumlist(Elements, Sum),
  TargetMaximin is -Sum//N,
  once(
  (
    between(TargetMaximin, -1, NMaximin),
    Maximin is -NMaximin,
    distribute(Elements, [], n, Maximin, N, 0, [], LDistributionOnce)
  )),
  LDistribution=LDistributionOnce.
  
distribute([], [], _, _, 0, _, _, []).
distribute(Elements, Skipped, y, Maximin, N, Cur, Distribution, [Distribution|LDistribution]):-
  N>0,
  Cur >= Maximin,
  succ(N1, N),
  append(Elements, Skipped, NElements),
  distribute(NElements, [], n, Maximin, N1, 0, [], LDistribution).
distribute([Element|Elements], Skipped, _, Maximin, N, Cur, Distribution, LDistribution):-
  N>0,
  NCur is Cur+Element,
  distribute(Elements, Skipped, y, Maximin, N, NCur, [Element|Distribution], LDistribution).
distribute([Element|Elements], Skipped, _, Maximin, N, Cur, Distribution, LDistribution):-
  N>0,
  distribute(Elements, [Element|Skipped], n, Maximin, N, Cur, Distribution, LDistribution).

该算法的思想是从最大目标最小值（元素总和除以玩家人数的整数除）开始，并尝试将元素拟合到 N 个插槽中，其中每个插槽的总和至少为目标最小值。 如果你找到这样的分布，那么你就完成了，否则将目标最小值减 1 并重复。

这里的算法也给出了它找到的唯一一个分布。

示例运行：

?- maximin([11,17,19],3,Maximin, LDist).
Maximin = 11,
LDist = [[11], [17], [19]].

?- maximin([5,7,1,3,3,7,4,3,8,2,5,1],3,Maximin, LDist).
Maximin = 16,
LDist = [[3, 1, 7, 5], [3, 4, 7, 3], [1, 5, 2, 8]].