Bytelandian金币解释？ [复制]

Question

我正在尝试这里提到的 Bytelandian 金币问题 - http://www.codechef.com/problems/COINS/ 这是它的解决方案之一 -

#include <stdio.h>
long int a[30][19];  //1
long int recur(long int n, int i, int j);
int main()
{
    long int n;
    int i, j;
    while (scanf("%lld", &n) != EOF)
    {
        for (i = 0; i < 30;i++)
        for (j = 0; j < 19; j++)
            a[i][j] = 0;
        long int v = recur(n, 0, 0);
        printf("%lld\n", v);
    }
    return 0;
}
long int recur(long int n, int i, int j)
{
    if (n <12 )  //2
        return n;
    else if (!a[i][j])
    {
        long int t = recur(n / 2, i + 1, j) + recur(n / 3, i, j + 1) + recur(n / 4, i + 2, j);
        a[i][j] = t;
    }

    return a[i][j];
}

在这段代码中，我无法理解两点- 1-数组 a[30][19] 的大小，它基于输入数的最大值可被 2 或 3 整除的最大次数，他们使用一些对数基数为 2 或 3 的公式来查找。可以有人请解释这个公式，如果是的话，这是一些数学属性我在哪里可以找到有关它的更多信息。 2-停止递归 n

long int recur(long int n, int i, int j)
{
    if ((n == 0) || (n == 1) || (n == 2) )
        return n;
    else if (!a[i][j])
    {
        long int t = recur(n / 2, i + 1, j) + recur(n / 3, i, j + 1) + recur(n / 4, i + 2, j);
        a[i][j] = n> t ? n : t;
    }

    return a[i][j];
}

如果有人请解释以上2点，我将不胜感激

Answer 1

1. i 的上限来自条件 2ⁱ ≤ 10⁹（ 10⁹ 可以除以 2 直到达到 1 的次数等于 1 可以乘以 2 直到达到 10⁹ 的次数）；求解 i 得到 i ≤ log₂(10⁹) ≅ 29.9。
   另一种看待它的方法是将 10⁹ 表示为二进制数 111011100110101100101000000000₂;这个数字有 30 位，每个整数除以 2 会减少一位（删除最右边的数字），所以经过 29 次除法后，我们得到 1。
   正如 JohnH 在上面的评论中正确指出的那样，i 的最大值仍然低于 29，因为递归不会下降到 n 等于; 1，但停在 n 。
   j 的上限和除以 3 的情况大致相同。 10⁹ 作为三进制数是 2120200200021010001₃;这个数字有 19 位数字；在 17 次整数除以 3 后，我们得到 21₃ 等于; 7，递归停止的地方。

2. 要找出12以下的所有数字都等于它们的最大兑换金额，我们可以简单地尝试一下：

   n n/2 n/3 n/4 3 个交换硬币的总和 1 0 0 0 0 2 1 0 0 1 3 1 1 0 2 4 2 1 1 4 5 2 1 1 4 6 3 2 1 6 7 3 2 1 6 8 4 2 2 8 9 4 3 2 9 10 5 3 2 10 11 5 3 2 10 12 6 4 3 13

   我们看到 12 是在交换时产生的值高于自身的最小数字。

   如果我用这个替换了原来的 recur 函数，我就错了 回答-

   从 n = 509607936 你得到“错误答案”，因为long int t 等溢出到负值。奇怪的是，在原来的recur 函数中，这个错误被另一个错误所补偿，即BLUEPIXY 指出的错误转换规范%lld。该程序可以通过定义a、recur、t 和v 类型为unsigned long int 并使用适当的转换规范%lu 来纠正。