如何进行超过限制位数的递归？答案

【问题标题】：How to do recursion with more than limit digit?如何进行超过限制位数的递归？
【发布时间】：2020-04-14 02:15:52
【问题描述】：

我想对下面的程序进行递归，但由于输入的数字太大（19 位）。它在我的程序中引发错误 MemoryError：堆栈溢出或RecursionError：比较中超出了最大递归深度。我尝试使用

重置递归限制

import sys
sys.setrecursionlimit(100000)

但这无济于事。你有什么解决方案来处理这么大的数字吗？这是我的整个程序。

def recursion(n):
    return 1 if n < 2 else n * recursion(n - 2)


string = str(recursion(1000000000000000000))

【问题讨论】：

有时递归不是一个有用的方法。
你对我在递归之外使用的其他方法有什么建议吗？
如果您遇到内存错误并且您的实现是正确的，这几乎肯定意味着您需要更改为非递归方法。 10^19 的递归深度在任何现有计算机上都是不可能的
即使不考虑递归限制问题，我怀疑你是否有足够的内存来保存str(recursion(1000000000000000000)) 或计算recursion(1000000000000000000) 的时间。使用对数，您可以验证所涉及的内存大到无法实现。您尝试计算的函数的增长速度比任何指数函数都快。

标签： python python-3.x recursion

【解决方案1】：

很遗憾python doesn't optimize tail recursion 进行迭代。但你可以自己做：

def recursion(n):
    result = 1
    for i in range(2, n+1, 2):
        result *= i
    return result

如果你真的希望它是递归的，那么你唯一能做的就是增加递归限制和堆栈大小，但这不是一个好主意。

【讨论】：

谢谢。我试过你的方法，但奇怪的是结果总是1。你知道为什么吗？再加上程序永远不会结束。它没有显示任何输出。
@Vincent.N 这个答案中的代码并不总是返回 1。如果这是你观察到的——也许检查你的缩进。
它“永远”不会结束，因为循环 1000000000000000000 次需要很多时间。在 for 循环中添加一个简单的 print 以查看它的效果。
谢谢大家的回答。 @JohnColeman 抱歉，这对我来说太愚蠢了。我把 i 和 1 弄混了，没有注意到。
@RafalS 我试过了。这是很多数字，超出了我对运行时间的预期。所以我猜这些方法还不够有效。

【解决方案2】：

这是递归without tail call optimization的实际限制之一。

Python 对递归调用的数量进行了防范，以避免堆栈溢出。这是您看到的RecursionError：

Python 3.7.4 (default, Aug 13 2019, 20:35:49) 
[GCC 7.3.0] :: Anaconda, Inc. on linux
Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information.
>>> def recursion(n):
...     return 1 if n < 2 else n * recursion(n - 2)
... 
>>> 
>>> string = str(recursion(1000000000000000000))
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
  File "<stdin>", line 2, in recursion
  File "<stdin>", line 2, in recursion
  File "<stdin>", line 2, in recursion
  [Previous line repeated 996 more times]
RecursionError: maximum recursion depth exceeded in comparison

增加是一种可能的解决方案，但它只会删除内置的防护。如果进行了足够多的递归调用，您最终将耗尽内存，这是您遇到的第二个错误（MemoryError: Stack overflow 或在我的情况下是分段错误）。

Python 3.7.4 (default, Aug 13 2019, 20:35:49) 
[GCC 7.3.0] :: Anaconda, Inc. on linux
Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information.
>>> import sys
>>> sys.setrecursionlimit(100000)
>>> def recursion(n):
...     return 1 if n < 2 else n * recursion(n - 2)
... 
>>> string = str(recursion(1000000000000000000))
Segmentation fault

在 Python 中解决这个问题的惯用方法是使用迭代：

def iteration(n):
    result = 1
    for i in range(n, 1, -2):
        result *= i
    return result

使用您的原始输入 (1e18) 运行此示例不会很快终止。随着整数的增长，计算所需的时间越来越多，因为这些操作需要使用大于 64 位的整数表示（或者您的 CPU 能够用单个寄存器表示的位数）。

尽管如此，这将是解决这个问题的 Pythonic 解决方案。

【讨论】：

【解决方案3】：

即使是n，您的函数也会计算2*4*6* ... *n。很容易得出这与2^(n/2) * (n/2)! 相同。例如，2*4*6*8*10 = (2*1)*(2*2)*(2*3)*(2*4)*(2*5) 因此是2^5*(1*2*3*4*5) = 32*5!。这可以通过函数快速有效地计算：

import math

def f(n):
    k = n//2
    return 2**k * math.factorial(k)

对于奇数n，它稍微复杂一些。请参阅来自 Math Overflow 的 this question。

通过Stirling's approximation，f(n) 渐近等价于sqrt(pi*n)*(n/e)^(n/2)。插入n = 10^18，并获取结果的base-2 日志，您可以看到f(10^18) 大约需要3.6 exabytes 来存储结果整数（这可能超出您的计算机可以处理的范围）。

【讨论】：