将一棵二叉搜索树右转换为另一棵的时间复杂度

Question

如果可以通过仅对 T1 执行右旋转从 T1 获得 T2，则 BST T1 可以右转换为另一个 BST T2。我需要证明这个操作可以在 $O(n^2)$ 右旋中完成。

假设给定 T1 可以右转换为 T2。 我理解算法的递归性质，因为我们首先将 T2 的根（它必须在 T1 的最左边路径中才能右转换）到 T1 的根，然后重复此过程T1 的 2 个子树。

但是，我无法想出一个演示最坏情况行为的示例。尽管我不确定如何证明这是否是最坏的情况，但我能够想到这两棵树。

 Tree 1                Tree 2 

          6                  1                   
         /                    \                 
        5                      2              
       /                        \               
      4                          3               
     /                            \                  
    3                              4                
   /                                \
  2                                  6
 /                                  /
1                                  5

可以通过从节点 2 开始向右旋转 5+4+3+2 次，将树 1 右转换为 T2。

一般来说，我如何找到需要 $O(n^2)$ 右旋转才能将一个 BST 转换为另一个的情况？

Answer 1

校样草图：

让T1=(V,E)，n=#V。考虑在以T1 开始的重复（右）旋转过程中发生的树序列<T1 = X_0, X_1, ..., X_(t-1), X_t = T2>。对于任何给定的旋转，让“旋转锚点”表示旋转子树的根节点。

观察#1：
旋转任何给定的子树不会改变它的顶点集。

观察 #2：
在给定子树的任何右旋转序列s 中，每个顶点最多是一次旋转锚点。 （在每次右旋转中，锚点迁移到右子树中。右旋转后的新根起源于左子树；或者请注意，每次旋转时，右子树都会增长 1 个顶点；因此对于子树@ 987654326@，最多有#V(S)-1 旋转）。

观察#3：
右旋转不会改变子树的数量。

任何树中子树的数量都等于可用根的数量#V-1。因此，最大长度的右旋转序列涉及 O(n) 子树，每个子树最多 #V(S)-1 (= O(n)) 旋转，总共 O(n^2)。