给定算法的递归关系？答案

【问题标题】：Recurrence relation for given algorithm?给定算法的递归关系？
【发布时间】：2016-01-20 08:51:01
【问题描述】：

int print4Subtree(struct Node *root) {
    if (root == NULL)
      return 0;
    int l =  print4Subtree(root->left);
    int r =   print4Subtree(root->right);
    if ((l + r + 1) == 4)
       printf("%d ", root->data);
    return (l + r + 1); }

此算法/代码在二叉树中找到恰好具有 4 个节点的子树的数量，它以自下而上的方式工作。我知道这段代码的时间复杂度是 O(n) ，空间复杂度是 O(log n) ，因为它使用递归。

代码的重复关系是什么？

我尝试绘制 T(n) = 2T(n-1)+1 ，这显然是错误的！

【问题讨论】：

在递归关系中，n 不是整数。应该是一棵树。然后，T(n) = 1 + T(n.left) + T(n.right)。形式上，它不仅取决于节点的数量，还取决于它们的结构。
你的公式T(n) = 2T(n-1)+1，这个n不是节点数。只有当树是平衡二叉树时才可以使用

标签： algorithm binary-tree time-complexity recurrence

【解决方案1】：

只有在对树的结构比较了解的情况下，才能单独用n来谈论递归关系，例如：

案例1：每个节点只有一个子含义 T(n) = T(0) + T(n-1 ) + k。
案例 2： 任何级别的子树都是平衡的，因此 T(n) = 2 T((n-1)/2) + k。

这两种情况都会导致 O(n)，但这两种情况只是极少数可能的树。对于更通用的方法，您必须使用像 T(n) = T(a) + 这样的公式T(b)，其中 a 和 b 是由你的树。您仍然可以使用strong induction 从这种公式中建立结果。

以下是我将使用的确切公式和方法：
T(n) = nk + m _nc，其中 m_n ≤ n + 1。（注意：我使用的是 k 用于递归步骤的开销，c 用于基本/空步骤的开销）。

基本情况（n=0）：
对于空节点 T(0) = c 所以 T(n) = kn em> + m_nc ,
其中 m_n = 1 ≤ n+1 = 1。
归纳步（T (x) = xk + m_xc 对于所有 x n):
大小为 n 的子树有两个大小为 a 和 b 的子树（a 或 b 可以是 0) 使得 n = a + b + 1.
T (n) = T(a) + T(b) + k = ak + m_ac + bk + m_bc + k = (a+b+1)k + (m_a+m_b)c = nk + m_nc ,
其中 m_n = m_a + m_b ≤ a + 1 + b + 1 = n + 1.

使用 m_n 的原因仅仅是为了使证明更顺畅，因为 null 案例的确切数量实际上是受树结构影响的（在前一种情况下，它是 log n）。所以 T(n) 最多是 O(n) 因为 nk 项，并且可以是由于 m_nc 上的界限，比 O(n) 最差。

【讨论】：