如何在 Haskell 中编写递归 lambda 表达式？

Question

我不确定这是否是一种好的编程习惯，但我想知道是否可以使用 lambda 表达式定义递归函数。

这是我编的一个人为的例子：所以可以在Haskell中递归定义阶乘函数如下

factorial :: Integer -> Integer 
factorial 1 = 1
factorial (n + 1) = (n + 1) * factorial n

现在，我想要一个函数f，这样f n = (factorial n) + 1。我不想使用factorial n 的名称（即事先定义它），而是想定义f，其中factorial n 在f 的定义中被赋予了一个lambda 表达式。我可以在f 中使用递归 lambda 定义来代替使用名称阶乘吗？

Answer 1

欧文很擅长修复功能

Prelude> fix f = f (fix f)
Prelude> fix (\f n -> if n == 0 then 1 else n * f (n - 1)) 6
720

即使没有修复，无名 Lambda 函数也会自行终止。 Owen 的修复函数击败了 Haskell 中通常使用的修复函数

fix :: (a -> a) -> a
fix f = let {x = f x} in x

两者都允许匿名递归 lambda 函数

Answer 2

为什么我们使用 lambda 而不是 let in？

Prelude> (let fib n = if n == 1 then 1 else n * fib(n-1) in fib ) 4
24

Answer 3

是的，使用定点函数fix：

fact :: Int -> Int
fact = fix (\f n -> if n == 0 then 1 else n * (f (n-1)))

基本上，它没有名字，因为它是一个 lambda 表达式，所以你将函数作为参数传入。 Fix 多次“无限”地将函数应用于自身：

fix f = f (fix f)

并且在Data.Function中定义。

Answer 4

使用纯 lambda 表达式进行递归的规范方法是使用 fixpoint 组合器，它是一个具有属性的函数

fixpoint f x = f (fixpoint f) x

如果我们假设存在这样的组合子，我们可以将递归函数写成

factorial = fixpoint (\ff n -> if n == 1 then 1 else n * ff(n-1))

唯一的问题是fixpoint本身仍然是递归的。在纯 lambda 演算中，有一些方法可以创建仅由 lambda 组成的定点组合器，例如经典的“Y 组合器”：

fixpoint f = (\x -> f (x x)) (\x -> f (x x))

但是我们仍然有问题，因为这个定义根据 Haskell 没有良好类型——并且可以证明没有办法只使用 lambdas 来编写一个类型良好的定​​点组合器和功能应用。它可以通过使用辅助数据类型来完成某种类型的递归：

data Paradox a = Self (Paradox a -> a)
fixpoint f = let half (Self twin) = f (twin (Self twin))
             in half (Self half)

（请注意，如果删除了单例数据类型的注入和投影，这正是 Y 组合子！）