原始递归和变态之间有什么联系？

Question

对自然数使用以下变态，我可以实现各种算术算法，而无需处理递归：

cataNat :: b -> (b -> b) -> Natural -> b
cataNat zero succ = go
  where
    go n = if (n <= 0) then zero else succ (go (n - 1))

fib :: Natural -> Natural
fib = fst . cataNat (0, 1) (\(a, b) -> (b, a + b))

cataNat 在我看来类似于原始递归。无论提供zero 和succ 的哪个组合，至少它的每个应用程序似乎都会终止。在每次迭代中，整个问题都被最小/最简单的问题实例分解。因此，即使它在技术上不是原始递归，它似乎也具有同样的表现力。如果这是真的，则意味着变态不足以表达一般递归。我们可能需要一个hylomorphism。我的推理是否正确，即是否对任何类型的变态都成立，而不仅仅是自然数？

Answer 1

原始递归直接对应于一个paramorphism。

你是正确的，变态与超态具有同等的理论能力，但它们在操作方面可能在重要方面有所不同。例如，让我们使用列表而不是 Nats。

cata :: b -> (a -> b -> b) -> [a] -> b
cata = flip foldr -- I'm lazy, but this argument order makes a bit more sense for this example

para :: b -> (a -> [a] -> b -> b) -> [a] -> b
para z _ []     = z
para z f (x:xs) = f x xs (para z f xs)

-- Removes the first element from the list which is equal to the other argument
delete1 :: Eq a => a -> [a] -> [a]
delete1 x xs = cata (const []) (\el k found -> if not found && el == x then k True else el : k found) xs False

-- Removes the first element from the list which is equal to the other argument
delete2 :: Eq a => a -> [a] -> [a]
delete2 x xs = para [] (\el raw processed -> if el == x then raw else el : processed) xs

看看delete1 与delete2 相比有多尴尬。您不仅必须通过将cata 的结果作为函数来扭曲您的逻辑，而且还会产生非常实际的运营成本。您必须在找到匹配元素后遍历列表中的所有内容，并重新创建所有 (:) 构造函数。这可能会在效率上产生显着的成本。相比之下，delete2 在找到目标元素时，可以直接使用列表的现有尾部作为剩余部分，甚至无需查看它。当然，foldr（现实世界，不是这个例子）的大多数用法都不会产生函数，也不想访问列表的未处理尾部。对他们来说，仅仅因为传递更少的数据，变质会稍微更有效率。

所以就理论能力而言，它们是等价的。在操作方面，每个都有用处，尽管变质现象更为常见。

对于更一般的概念的一些扩展，请参阅recursion-schemes 库。它使用了一种看起来相当不同的想法，以便它可以抽象出具有不同形状的数据类型，而不是需要为cata/para 为它们可以应用的每种数据类型使用不同的类型。但这实际上只是打包相同想法的另一种方式，并且还涵盖了其他类型的态射，包括许多moreniche（甚至possibly useless）的态射。