什么是 Scheme 中的“向上”或“向下”结构？

Question

在函数微分几何的早期，Sussman & Wisdom 就开始使用“向上结构”......但我一点也不知道这可能是什么。

(print-expression
  ((compose P2-chi R2-chi-inverse)
  (up ’x0 ’y0)))

我在文本中的任何地方都找不到这个结构的描述，我在标准版本的 Scheme 或语言文档中找不到它......所以我想知道这些“向上结构”和“向下结构”到底是什么“事情是这样的。我知道它们对应于基本微积分中的导数和积分。只是根本不知道它们是如何在 Scheme 中组合在一起的。

Answer 1

来自scmutilsreference manual：¹

我们用数学来识别 Scheme 向量数据类型 n 维向量。当一个 区分了向上元组和向下元组。 我们从 Scheme 继承了构造函数 VECTOR 和 MAKE-VECTOR， 选择器 VECTOR-LENGTH 和 VECTOR-REF，以及从零开始的索引。

而且，我认为，数学解释是：Covariance and contravariance of vectors。

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¹（转到上元组和下元组部分并向下滚动到乘法解释，看看它的全部内容）。

Answer 2

参见第 22 页的脚注 1：

在多个维度上，导数 Df(x) 是一个向下元组结构 的偏导数和增量 Δx 是一个上元组 结构，因此指示的产品将被解释为 收缩。 （见公式 B.8。）

在文本中扫描up 的外观，它似乎是一个包含真实值的两位元组。在 Scheme 中，两个地方的元组可以是一个简单的 dotted pair 使用 cons:

 (define (up x y)
     (if (and (real? x)
              (real? y))
       (cons x y)
       (error "up: argument is not a Real"))))

 (define up? cons?)

 (define up-x car)

 (define up-y cdr)

有些方案会在其中烘焙两个位置的元组——例如posn 在 Racket 的学生语言中。另一方面，在#lang racket 中，我们可能会使用struct 而不是cons，我们会使用protect the struct with a contract：

#lang racket

(struct up (x y))

(provide (contract-out
          (struct up ((x real?)
                      (y real?)))))

免责声明

我浏览这本书的印象是up 结构包含两个实数值，但我并没有声称完全理解数学。因此可能需要指定更复杂的数据类型或更广泛的验证。当然，对于某些类型的程序，也可以选择不带类型验证的原始动态类型 cons 或 list。