将其参数应用于自身的函数？

Question

考虑以下 SML 函数：

fn x => x x

这会产生以下错误（新泽西州标准 ML v110.72）：

stdIn:1.9-1.12 Error: operator is not a function [circularity]
  operator: 'Z
  in expression:
    x x

我可以理解为什么这是不允许的——首先，我不确定如何写下它的类型——但这并不是完全荒谬的；例如，我可以将标识函数传递给它并取回它。

这个函数有名字吗？ （有没有办法用SML来表达？）

Answer 1

没有办法用类似 ML 的类型系统的语言来表达这个功能。即使使用标识函数，它也不起作用，因为 x x 中的第一个 x 和第二个 x x 必须是该函数的不同实例，分别为 (_a -> _a) -> (_a -> _a) 和 _a -> _a 类型，对于某些类型 @ 987654325@.

事实上，类型系统的设计目的是禁止像

(λx . x x) (λx . x x)

在无类型的 lambda 演算中。在动态类型语言Scheme中，可以写这个函数：

(define (apply-to-self x) (x x))

得到预期的结果

> (define (id x) x)
> (eq? (apply-to-self id) id)
#t

Answer 2

这样的函数经常在定点组合器中遇到。例如Y combinator 的一种形式写成λf.(λx.f (x x)) (λx.f (x x))。定点组合器用于在无类型 lambda 演算中实现一般递归，无需任何额外的递归构造，这也是无类型 lambda 演算图灵完备的部分原因。

当人们开发simply-typed lambda calculus，这是一个基于 lambda 演算的简单静态类型系统时，他们发现不再可能编写这样的函数。事实上，在简单类型的 lambda 演算中执行一般递归是不可能的。因此，简单类型的 lambda 演算不再是图灵完备的。 （一个有趣的副作用是简单类型的 lambda 演算中的程序总是终止。）

真正的静态类型编程语言（如标准 ML）需要内置递归机制来解决该问题，例如命名递归函数（使用 val rec 或 fun 定义）和命名递归数据类型。

仍然可以使用递归数据类型来模拟你想要的东西，但它不是那么漂亮。

基本上，你想定义一个像'a foo = 'a foo -> 'a这样的类型；但是，这是不允许的。而是将其包装在数据类型中：datatype 'a foo = Wrap of ('a foo -> 'a);

datatype 'a foo = Wrap of ('a foo -> 'a);
fun unwrap (Wrap x) = x;

基本上，Wrap 和unwrap 用于在'a foo 和'a foo -> 'a 之间进行转换，反之亦然。

当你需要调用一个函数本身，而不是x x，你必须显式写(unwrap x) x（或unwrap x x）；即unwrap 将其转换为一个函数，然后您可以将其应用于原始值。

附：另一种 ML 语言 OCaml 具有启用递归类型的选项（通常禁用）；如果您使用-rectypes 标志运行解释器或编译器，则可以编写fun x -> x x 之类的东西。基本上，在幕后，类型检查器会找出您需要“包装”和“解包”递归类型的位置，然后为您插入它们。我不知道任何具有类似递归类型功能的标准 ML 实现。