与 SAS/IML 和 R 不同的结果，在 SVD 分解中

Question

很快，我正在将一个 R 包翻译成 IML 语言，而且我完全在为 R 和 IML 之间的 SVD 分解结果而苦苦挣扎。

R 代码：

s <- svd(MAT) 
s$v

SAS/IML 代码：

call svd (U, D, V, MAT);
print V;

V 是矩阵的两边，包含来自 SVD 分解的右奇异向量，但是在这里，请看一下 R 的这些结果：

             [,1]         [,2]         [,3]        [,4]        [,5]         [,6]         [,7]
[1,] -2.625059e-02  0.029572211 -0.006491235 0.015622547  0.01553215 -0.003882378  0.007250290
[2,] -4.762146e-06 -0.030403155 -0.016635218 0.024949110 -0.01238686  0.001334805  0.041902431
[3,] -8.460010e-02  0.025365547  0.006657322 0.020129575 -0.02312842  0.038366880  0.054249177
[4,] -1.368302e-02  0.029621706  0.005462163 0.017887163  0.02605000 -0.002546119 -0.001913554
[5,] -3.326751e-02  0.003552646  0.003634580 0.065277891 -0.01218518 -0.026305833  0.029209961
[6,] -1.451836e-02  0.089992653 -0.012355758 0.009777273 -0.07790069 -0.044679172 -0.028174261

这些来自 SAS/IML：

            COL1      COL2      COL3      COL4      COL5      COL6      COL7      COL8      COL9

 ROW1   0.0262506 -0.029572 -0.006491 0.0156225 0.0155322 -0.003882  -0.00725  0.040721 -0.000566
 ROW2   4.7621E-6 0.0304032 -0.016635 0.0249491 -0.012387 0.0013348 -0.041902 0.0225321 0.0070566
 ROW3   0.0846001 -0.025366 0.0066573 0.0201296 -0.023128 0.0383669 -0.054249 0.0305745 -0.041534
 ROW4    0.013683 -0.029622 0.0054622 0.0178872   0.02605 -0.002546 0.0019136 0.0168932 0.0229999
 ROW5   0.0332675 -0.003553 0.0036346 0.0652779 -0.012185 -0.026306  -0.02921 -0.029533 0.0145009
 ROW6   0.0145184 -0.089993 -0.012356 0.0097773 -0.077901 -0.044679 0.0281743 -0.025475 -0.036881
 ROW7   -0.012385 0.0295035 0.0051056   -0.0007 0.0025335 -0.009391 -0.045927 -0.054661 -0.029963

值与您看到的相同，但它们的符号有时相同，有时不同。我找不到发生这种情况的任何原因，这完全让我发疯。 有人可以给我一个解决方案，或者至少是一个提示或任何东西。 任何帮助将不胜感激，如果它不能解决这个问题。

非常感谢。

编辑：显然，发布的结果只是总矩阵的一部分。

Answer 1

总之，SVD分解不是唯一的。

M 的奇异向量是 M`M 的特征向量。特征向量不是唯一的。即使矩阵是满秩的，特征向量也只能定义为一个符号：如果 v 是特征值 lambda 的矩阵 A 的特征向量，那么 -v 也是如此，因为 A*(-v) = -(Av) = -(lambda v) = lambda (-v)。

不同的 SVD（和特征值）算法会导致不同的分解。只要 M = UDV`，分解是有效的。奇异值的 D 矩阵在各个软件包中基本相同，但 U 和 V 矩阵可以不同。

顺便说一句，如果您的矩阵不是满秩的，那么即使“唯一性签名”也会失效。 The Wikipedia article on the SVD 有两个非常不同的 SVD 用于同一个秩亏矩阵的示例。