假设我们在数据集中有 n 个数据点。对于给定的点，我们可以根据到该点的（度量）距离对其他 n-1 个点进行排序。
如果我们有一个度量距离函数（例如 L 范数），那么为数据集中的每个点计算此值的最有效方法是什么？
天真的方法似乎是依次对每个点的距离列表进行排序，每个点的成本为 O(n log n)，即所有点的 O(n^2 log n)。考虑到每次都必须遍历完整的树，使用 k-d 树似乎并没有更好。
例如，有没有更好的方法可以利用三角不等式？
【问题讨论】：
标签： algorithm sorting data-structures nearest-neighbor kdtree
由于您的输出为 O(n^2)，您将无法获得比这更好的结果。
我认为这归结为您可以根据到点 q 的距离对所有其他点进行排序的速度。如果您有索引结构（例如，KD-Tree 或 R-Tree），您可以使用 distance browsing 对所有其他点进行排序 w.r.t。问。
距离浏览的基本思想是有一个优先队列 pq，它的条目按到 q 的最小距离排序。 pq 可以包含索引结构的点和条目。首先将索引结构的根条目放入 pq。然后你开始从 pq 弹出元素。当你遇到一个条目（节点）时，你解决它并将子节点放回 pq。当您遇到一个点时，您会找到 q 的下一个最近邻。
总体而言，索引结构有 O(n) 个条目。从 pq 弹出一个元素是 O(log |pq|)。这使得运行时 O(n * log |pq|)。问题是 pq 中平均有多少个元素。
我没有证据证明这一点，但是让我假设队列中的平均元素数应该在 L_1 和 2D 空间的 O(sqrt(n)) 左右。请注意，队列的大小很大程度上取决于距离度量和点的维度。
将所有这些放在一起，您可以构建索引结构 (O(n log n))，然后为每个点 q 对所有其他点进行排名 (O(n * log(sqrt(n))))
总体而言，这为您提供了O(n * log(n) + n^2 * log(sqrt(n))) 的运行时间。
但是，要回显@MBo：对于 O(n^2 * log (n)) 的改进不大，这是一个很大的麻烦
【讨论】：
n^2 * log(sqrt(n)) 并不是对n^2 * log(n) 的改进，尤其是在考虑到增加的比例常数之后。您还可以为平方根提供更多理由吗？不过看起来令人印象深刻。