寻找附近的邻居

Question

我需要在一组点中找到“近”邻。

上图中有 10 个点。红线是Delaunay Triangulation 的边缘，黑色星星标记边缘的中线，蓝线是Voronoi tesselation。点 1 有 3 个“近”邻居，即 4、6 和 7，但不是 2 和 3，它们几乎与边缘 1-7 一致，但距离更远。

什么是识别近邻（或“好”边缘）的好方法？看这个图，在我看来，要么选择中点落在与 Voronoi 线相交的边缘，要么将那些与 Voronoi 细胞接触的边缘视为“近”邻居，这可能是一个很好的解决方案（分类 3-5可以去任何一种方式）。是否有一种在 Matlab 中实现任一解决方案的有效方法（我很高兴得到一个好的通用算法，然后我可以将其转换为 Matlab，顺便说一句）？

Answer 1

您可以通过使用DelaunayTri class 及其edges 和nearestNeighbor 方法来实现选择中点落在与Voronoi 线相交处的边的第一个想法。这是一个包含 10 对随机 x 和 y 值的示例：

x = rand(10,1);                     %# Random x data
y = rand(10,1);                     %# Random y data
dt = DelaunayTri(x,y);              %# Compute the Delaunay triangulation
edgeIndex = edges(dt);              %# Triangulation edge indices
midpts = [mean(x(edgeIndex),2) ...  %# Triangulation edge midpoints
          mean(y(edgeIndex),2)];
nearIndex = nearestNeighbor(dt,midpts);  %# Find the vertex nearest the midpoints
keepIndex = (nearIndex == edgeIndex(:,1)) | ...  %# Find the edges where the
            (nearIndex == edgeIndex(:,2));       %#   midpoint is not closer to
                                                 %#   another vertex than it is
                                                 %#   to one of its end vertices
edgeIndex = edgeIndex(keepIndex,:);      %# The "good" edges

现在edgeIndex 是一个 N×2 矩阵，其中每一行包含指向 x 和 y 的索引，用于定义“近”连接的一个边。下图说明了 Delaunay 三角剖分（红线）、Voronoi 图（蓝线）、三角剖分边缘的中点（黑色星号）以及 edgeIndex 中保留的“良好”边缘（粗红线）：

triplot(dt,'r');  %# Plot the Delaunay triangulation
hold on;          %# Add to the plot
plot(x(edgeIndex).',y(edgeIndex).','r-','LineWidth',3);  %# Plot the "good" edges
voronoi(dt,'b');  %# Plot the Voronoi diagram
plot(midpts(:,1),midpts(:,2),'k*');  %# Plot the triangulation edge midpoints

它是如何工作的......

Voronoi 图由一系列 Voronoi 多边形或单元格组成。在上图中，每个单元表示给定三角剖分顶点周围的区域，该区域包含空间中比任何其他顶点更接近该顶点的所有点。因此，当您有 2 个顶点不靠近任何其他顶点（如图像中的顶点 6 和 8）时，连接这些顶点的线的中点落在 Voronoi 单元之间的分隔线上顶点。

但是，当有第三个顶点靠近连接 2 个给定顶点的线时，第三个顶点的 Voronoi 单元可能会在 2 个给定顶点之间延伸，穿过连接它们的线并包围该线的中点。因此，这第三个顶点可以被认为是 2 个给定顶点的“更近”邻居，而不是 2 个顶点彼此之间的距离。在您的图像中，顶点 7 的 Voronoi 单元延伸到顶点 1 和 2（以及 1 和 3）之间的区域，因此顶点 7 被认为比顶点 2（或 3）更接近顶点 1。

在某些情况下，即使两个顶点的 Voronoi 单元相接触，此算法也可能不会将两个顶点视为“近”邻居。图像中的顶点 3 和 5 就是一个示例，其中顶点 2 与顶点 3 或 5 的距离比顶点 3 或 5 彼此之间的距离更近。

Answer 2

我同意共享单元边缘是一个良好的邻居标准（基于此示例）。如果您使用的是面向网格的数据结构（如 Gts 中的某些东西），那么识别共享边将是微不足道的。

另一方面，Matlab 使这更“有趣”。假设 voronoi 单元存储为补丁，您可以尝试获取“Faces”补丁属性（请参阅this reference）。这应该返回类似识别连接顶点的邻接矩阵。由此（还有一点魔法），您应该能够确定共享顶点，然后推断共享边。根据我的经验，这种“搜索”问题不太适合 Matlab - 如果可能，我建议转移到更适合查询网格连接的系统。

Answer 3

比创建三角剖分或 voronoi 图更简单的另一种可能性是使用邻域矩阵。

首先将所有点放入一个二维方阵中。然后您可以运行完整或部分空间排序，因此点将在矩阵内变得有序。

Y 较小的点可以移动到矩阵的顶行，同样，Y 较大的点会移动到矩阵的底行。具有较小 X 坐标的点也会发生同样的情况，应该移动到左侧的列。并且对称地，具有大 X 值的点将转到右侧列。

完成空间排序后（有很多方法可以通过串行或并行算法来实现），您可以通过访问点 P 实际存储在邻域矩阵。

您可以在以下论文中阅读有关此想法的更多详细信息（您可以在线找到它的 PDF 副本）：基于紧急行为的 GPU 上的超大规模人群模拟。

排序步骤为您提供了有趣的选择。您可以只使用论文中描述的奇偶转置排序，它实现起来非常简单（即使在 CUDA 中也是如此）。如果你只运行一次，它会给你一个部分排序，如果你的矩阵是接近排序的，这可能已经很有用了。也就是说，如果您的点移动缓慢，它将为您节省大量计算。

如果你需要一个完整的排序，你可以多次运行这样的奇偶转置传递（如下面的维基百科页面所述）：

http://en.wikipedia.org/wiki/Odd%E2%80%93even_sort