当样本中的 prob 参数总和小于/大于 1 时会发生什么？

Question

我们知道sample 中的prob 参数用于分配权重概率。

例如，

table(sample(1:4, 1e6, replace = TRUE, prob = c(0.2, 0.4, 0.3, 0.1)))/1e6

#  1   2   3   4 
#0.2 0.4 0.3 0.1 


table(sample(1:4, 1e6, replace = TRUE, prob = c(0.2, 0.4, 0.3, 0.1)))/1e6

#    1     2     3     4 
#0.200 0.400 0.299 0.100 

在这个例子中，概率之和正好是 1 (0.2 + 0.4 + 0.3 + 0.1)，因此它给出了预期的比率，但是如果概率之和不等于 1 怎么办？它会给出什么输出？我认为这会导致错误，但它提供了一些价值。

当概率总和大于 1 时。

table(sample(1:4, 1e6, replace = TRUE, prob = c(0.2, 0.5, 0.5, 0.1)))/1e6

#     1      2      3      4 
#0.1544 0.3839 0.3848 0.0768 

table(sample(1:4, 1e6, replace = TRUE, prob = c(0.2, 0.5, 0.5, 0.1)))/1e6

#     1      2      3      4 
#0.1544 0.3842 0.3848 0.0767 

当概率总和小于 1 时

table(sample(1:4, 1e6, replace = TRUE, prob = c(0.1, 0.1, 0.5, 0.1)))/1e6

#    1     2     3     4 
#0.124 0.125 0.625 0.125 

table(sample(1:4, 1e6, replace = TRUE, prob = c(0.1, 0.1, 0.5, 0.1)))/1e6

#    1     2     3     4 
#0.125 0.125 0.625 0.125 

正如我们所见，多次运行得到的输出不等于prob，但结果也不是随机的。在这种情况下，数字是如何分布的？它记录在哪里？

我尝试在互联网上搜索，但没有找到任何相关信息。我查看了?sample 的文档，其中有

可选的 prob 参数可用于给出一个权重向量，用于获取被采样向量的元素。它们的总和不必为 1，但它们应该是非负的且不全为零。如果 replace 为真，当有超过 200 个合理可能的值时使用 Walker 的别名方法 (Ripley, 1987)：这给出的结果与 R

所以它说prob 参数不需要总和为 1，但不告诉当它不和为 1 时预期什么？我不确定我是否遗漏了文档的任何部分。有人知道吗？

Answer 1

如前所述，权重被归一化为总和为 1，如下所示：

> x/sum(x)
[1] 0.15384615 0.38461538 0.38461538 0.07692308

这与您的模拟列表数据相匹配：

#     1      2      3      4 
#0.1544 0.3839 0.3848 0.0768 

Answer 2

好问题。文档对此并不清楚，但可以通过查看源代码来回答问题。

如果您查看 R 代码，sample 总是调用另一个 R 函数，sample.int 如果您将单个数字 x 传递给 sample，它将使用 sample.int 创建一个整数向量小于或等于该数字，而如果x 是一个向量，则它使用sample.int 生成一个小于或等于length(x) 的整数样本，然后将其用于子集x。

现在，如果您检查函数 sample.int，它看起来像这样：

function (n, size = n, replace = FALSE, prob = NULL, useHash = (!replace && 
    is.null(prob) && size <= n/2 && n > 1e+07)) 
{
    if (useHash) 
        .Internal(sample2(n, size))
    else .Internal(sample(n, size, replace, prob))
}

.Internal 表示任何采样都是通过调用用 C 编写的编译代码完成的：在这种情况下，它是函数 do_sample，定义为 here in src/main/random.c。

如果您查看此 C 代码，do_sample 会检查它是否已通过 prob 向量。如果不是，它会在相同权重的假设下进行采样。如果prob 存在，该函数确保它是数字而不是NA。如果prob 通过这些检查，则会生成一个指向底层双精度数组的指针，并将其传递给random.c 中名为FixUpProbs 的另一个函数，定义为here。

此函数检查prob 的每个成员，如果prob 的任何元素不是正有限双精度数，则抛出错误。然后，它通过将每个数字除以所有数字的总和来规范化数字。因此，代码中固有的 prob 总和为 1 根本没有偏好。也就是说，即使 prob 在您的输入中总和为 1，该函数仍会计算总和并将每个数字除以它。

因此，参数命名不当。正如其他人在这里指出的那样，它应该是“权重”。公平地说，文档只说prob 应该是权重向量，而不是绝对概率。

所以我阅读代码时prob参数的行为应该是：

1. prob 可以完全不存在，在这种情况下，采样默认为相等的权重。
2. 如果prob 的任何数字小于零、无穷大或NA，函数将抛出异常。
3. 如果任何prob 值不是数字，则应引发错误，因为在传递给C 代码的SEXP 中它们将被解释为NA。
4. prob 的长度必须与 x 相同，否则 C 代码会抛出
5. 如果您指定了replace=T，则可以将零概率作为prob 的一个或多个元素传递，只要您至少有一个非零概率。
6. 如果您指定replace=F，则您请求的样本数必须小于或等于prob 中的非零元素数。从本质上讲，如果您要求FixUpProbs 以零概率采样，它将抛出。
7. 有效的prob 向量将被归一化为总和为 1 并用作采样权重。

作为这种行为的一个有趣的副作用，如果您通过设置 probs = c(1, odds) 在 2 个备选方案之间进行选择，这允许您使用赔率而不是概率