计算子集的唯一交集答案

【问题标题】：Computing unique intersections of subsets计算子集的唯一交集
【发布时间】：2013-03-26 02:10:29
【问题描述】：

给定一个集合 S = {s_i : {z_j : z ∈ N} }，什么是计算 S 的子集的唯一交集的高效算法？

作为背景，我正在处理这个问题的几个版本，有些版本比其他版本大。在最小的一个|S| ≈ 1,000, |s_i| ≈ 10,000，值是邮政编码。

为了清晰起见的小例子：

输入：S = {{},{1},{2,3},{3,4,5,6,7,8,9,10}} 输出：{{},{1},{2,3},{3,4,5,6,7,8,9,10},{3}}

|S| = 4 并且有 2⁴ = 16 个 S 的子集。但是，只有五组独特的子集交集。前四个是 S 本身的成员。第五个是{3}。空集已经是 S 的成员。所有其他 10 个子集交集也产生空集。

【问题讨论】：

我想你要找的只是一个简单的集合交集算法，看看[线性交集算法] (stackoverflow.com/questions/4642172/…)
@amas S 有 2^n 个子集，S 有 1000 多个元素。 O(n) 交集算法没有帮助。交叉路口不是 IMO 的问题，它决定了哪些交叉路口不要做。
抱歉 4，也许我没有理解这个问题。你能提供更多细节吗？
@amas 我不确定您还需要什么其他详细信息。如果你把所有 2^|S| S 的子集并与它们相交，2^|S| 中的唯一集将非常少结果。我正在寻找那些独特的套装。
你如何定义subset和intersection？例如，S1 = {{1}, {2,3}} 和 S2 = {{}, {1}, {2,3}} 是 S 的子集，它们的交集是 (S1 & S2) == {{1}, {2,3}} 即，交集的成员本身就是集合，因此一组交集是一组集合（交集）的集合（ S)。你如何让输出只是一组集合？

标签： performance algorithm set intersection discrete-mathematics

【解决方案1】：

渐近时间复杂度：

n：集合的数量，在执行过程中会改变

m：平均集合大小

时间： T(Search-Matching-Sets) x T(Intersection) x SUM { k } for k: 1..n

时间： 2m x 2m x 1/2 n(n+1)

时间： O(4 m^2 x 1/2 n x (n+1)) ~ O(n^2 m^2)

建议算法：

FOR i: 1..n
{

    FOR j: i..n
    {

        IF i = j THEN SKIP

        INTERSECTION := FIND-INTERSECTION ( SETS[i], SETS[j] )

        IF INTERSECTION ⊄ SETS[] THEN ADD INTERSECTION TO SETS[]

    }

}

【讨论】：

【解决方案2】：

这是一个可能值得的快速预处理步骤。

调用元素 x 和 y 等价如果对于每个集合 s_i，x 和 y 都属于或不属于 s_i .通过删除除每个等价类的一个代表之外的所有元素来简化问题。最后，将每个代表展开到它的类。

为简化起见，逐个扫描集合，同时维护从每个元素到其等价类的标签的映射，其中等价是相对于目前处理的集合确定的。最初，所有元素都在同一个类中，因此此映射将每个元素发送到相同的标签。要处理一个集合，请初始化一个新标签的空映射。对于集合中的每个元素 x，设 k 为 x 的当前标签。如果新标签映射中存在键 k，则 k 对应的值成为 x 的新标签。否则，我们分配一个新标签并将其分配给 x 并添加从 k 到新标签的映射。

这是您输入的执行情况。

初始标签 = {1:a, 2:a, 3:a, 4:a, 5:a, 6:a, 7:a, 8:a, 9:a, 10:a}。李>
扫描 {}。什么都没有发生。
扫描 {1}。将标签[1] 更改为 b。
扫描 {2, 3}。将 label[2] 和 label[3] 改为 c。
扫描 {3、4、5、6、7、8、9、10}。将 label[3] 更改为 d，将 label[4..10] 更改为 e。
最后，label = {1: b, 2: c, 3: d, 4: e, 5: e, 6: e, 7: e, 8: e, 9: e, 10: e} .选择 1 (b) 和 2 (c) 以及 3 (d) 和 4 (e) 来表示他们的类。其他所有内容均已删除。

【讨论】：

有趣。它没有解决问题，但它给了我一个好主意，让我可以用不同的方式解决整个问题，所以我会奖励答案。