编程练习的回溯解决方案（安装管道）

Question

我正在审查本地编程竞赛中的一个编程问题。

您可以下载问题here (pdf)。它是荷兰语，但图片将有助于理解它。

您收到一个 m*m 网格作为输入，其中包含一些管道和一些缺失点（问号）。 其余的管道必须放置在网格中，以便它们与其他管道连接。

每个管道都表示为一个字母（参见第 2 页的图片）。字母“A”的值为 1，“B”的值为 2，..

我尝试通过回溯来解决它（它还不能很好地工作）。但是由于网格可以是 10x10，这将太慢。 有人可以提出更好（更快）的解决方案/方法吗？

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <vector>
using namespace std;

#define sz(a) int((a).size())
#define pb push_back

int m, found;
string letters;
vector<int> done;
vector<string> a;

int ok(char letter, int c, int r)
{
    int val = letter - 'A' + 1;

    //checking if no side goes outside
    if (r == 0 && (val & 1))
        return 0;
    if (r == m - 1 && (val & 4))
        return 0;
    if (c == 0 && (val & 8))
        return 0;
    if (c == m - 1 && (val & 2))
        return 0;

    //check if the side is connected the other pipe on the grid
    if (r > 0 && a[r - 1][c] != '?' && (a[r - 1][c] & 4) && !(val & 1))
        return 0;
    if (c > 0 && a[r][c - 1] != '?' && (a[r][c - 1] & 2) && !(val & 8))
        return 0;
    if (r < m - 1 && a[r + 1][c] != '?' && (a[r + 1][c] & 1) && !(val & 4))
        return 0;
    if (c < m - 1 && a[r][c + 1] != '?' && (a[r][c + 1] & 8) && !(val & 2))
        return 0;

    return 1;
}

void solve(int num_placed, int pos)
{
    if (found) return;

    //done
    if (num_placed == sz(letters)) {
        for (int i = 0; i < m; ++i)
            cout << a[i] << endl;
        found = 1;
        return;
    }

    int c = pos % m;
    int r = pos / m;
    if (a[r][c] != '?')
        solve(num_placed, pos + 1);

    //try all the pipes on this position
    for (int i = 0; i < sz(letters); ++i) {
        if (!done[i] && ok(letters[i], c, r)) {
            a[r][c] = letters[i];
            done[i] = 1;
            solve(num_placed + 1, pos + 1);
            done[i] = 0;
            a[r][c] = '?';
        }
    }
}

int main()
{
    freopen("input.txt", "r", stdin);

    int n;
    cin >> n;

    while (n--) {
        cin >> m;
        cin >> letters;

        cout << m << endl;
        a.clear();
        for (int i = 0; i < m; ++i) {
            string line;
            cin >> line;
            a.pb(line);
        }

        done = vector<int>(sz(letters), 0);

        found = 0;
        solve(0, 0);
    }

    return 0;
}

Answer 1

原始回复

您必须自己编写所有代码还是有兴趣探索其他工具？因为我建议查看约束传播/线性规划。你已经有很多边界约束——外边缘不能有管道，加上内边缘——所以我想这会非常有效。此外，约束看起来像是简单的等式，所以应该很容易设置。

我没有足够的经验在这里提供更多细节（尽管如果我下周有时间我可能会在某个时候试一试），但如果这种事情很有趣，还有更多背景在another answer i wrote some time ago。

ps 有趣的问题；感谢您发布此内容。

[编辑：如果您不能使用其他库，那么您可以自己进行约束传播。有一个很棒的article by norvig 展示了如何为数独做到这一点。我强烈建议您阅读 - 我想您会看到如何使用这些技术，即使它是数独和 python。]

更新回复（2012-04-06 - 更新了博客参考；旧的 cmets 有问题）

深度优先搜索，其中下一个空单元格被每个可用的一致图块填充，并且一致性检查包括边缘约束（没有管道离开边缘）和最近的邻居，是相当有效率。我在 clojure 中有一个未优化的实现，它将在 0.4 毫秒左右（JVM 预热后 360 毫秒内 1000 个）和 3 毫秒内解决较大的示例（cedric van goethem 报告优化了 1 毫秒 - 但仍然是 OO - java 实现，这似乎是合理的)。它可以在 12 秒内解决一个 10x10 的难题（没有初始提示的同心圆管）。

我还花时间研究了一种“智能”方法，该方法可以跟踪每个单元格的约束，就像上面 norvig 的论文一样。然后我尝试使用choco。所有这一切都在blog posts here 中有更详细的描述（我在这个答案的更新中确实有更多的细节，但它们是基于错误的代码——博客有更多、更好的信息）。源代码也可供下载。

所有这些的一般结论是直接搜索可以达到 10x10。在那之后，更多的聪明可能会有所帮助，但很难确定，因为生成测试用例很困难（它们往往是模棱两可的，即使给出了很多单元格）。

Answer 2

很好的问题。我在O(n·m·8^m)中找到了一个解决方案，似乎已经足够了。

1. 关注第一行和第二行之间的边界。有 2^m 种可能性（每一侧是否有传出线）。这将是上边界线，下边界线将在每一侧没有连接。

2. 对于每对下边界线和上边界线（将是 2^m·2^m = 4^m 对），计算适合的每一行。如果你从左边来，你给出了左侧、顶部和底部，所以你只有 2 种可能性。如果您查看的图块在地图中是固定的，请检查它是否适合并中止。递归调用它，你会得到每行 2^m 行或总共 4^m*2^m=8^m。

3. 虽然最后一步是纯蛮力，但这次我们使用 DP。保护数组数组中的元组（边框、使用的砖块、行）。 array[0] 将包含一个元组（空边框，不使用砖块，什么都没有）。 array[n] 包含第 n 行（从 1 开始）中所有 8^m 生成的行，以及它适合的 array[n-1] 中的每个项目（即项目的边界与行的下边界相同) 请注意，如果您巧妙地将这个条件与第 2 步中的循环结合起来，则无需任何成本。

4. 删除所有需要一种类型的砖比可用的砖多的所有元组，并对数组进行排序。然后继续第 2 步，直到处理完所有行。

5. 如果您已完成，请在数组[n] 中检查元组（空边框、所有砖块使用、行）。由于您的任务描述暗示它存在，因此打印出它的行。然后查看行的下边界，在array[n-1]中搜索并打印，以此类推。

希望你能听懂我的英语。