用MATLAB写一个二维实现牛顿法的函数

Question

我正在尝试编写一个在二维中实现牛顿方法的函数，虽然我已经这样做了，但我现在必须调整我的脚本，以便我的函数的输入参数必须是列向量中的 f(x)， f(x) 的雅可比矩阵、初始猜测 x0 以及函数 f(x) 及其雅可比矩阵在单独的 .m 文件中的容差。

作为我编写的实现牛顿方法的脚本示例，我有：

n=0;            %initialize iteration counter     
eps=1;          %initialize error     
x=[1;1];        %set starting value

%Computation loop     
while eps>1e-10&n<100 
    g=[x(1)^2+x(2)^3-1;x(1)^4-x(2)^4+x(1)*x(2)];         %g(x)      
    eps=abs(g(1))+abs(g(2));                             %error     
    Jg=[2*x(1),3*x(2)^2;4*x(1)^3+x(2),-4*x(2)^3+x(1)];   %Jacobian     
    y=x-Jg\g;                                            %iterate     
    x=y;                                                 %update x     
    n=n+1;                                               %counter+1     
end 

n,x,eps       %display end values

因此，使用此脚本，我已将函数和雅可比矩阵实现到实际脚本中，我正在努力研究如何实际创建具有所需输入参数的脚本。

谢谢！

Answer 1

如果您不介意，我想重新构建您的代码，使其更具动态性和更易于阅读。

让我们从一些预备开始。如果您想让您的脚本真正动态化，那么我建议您使用 Symbolic Math Toolbox。这样，您可以使用 MATLAB 为您处理函数的导数。您首先需要使用syms 命令，然后使用您想要的任何变量。这告诉 MATLAB 您现在要将此变量视为“符号”（即不是常数）。让我们从一些基础开始：

syms x;
y = 2*x^2 + 6*x + 3;
dy = diff(y); % Derivative with respect to x.  Should give 4*x + 6;
out = subs(y, 3); % The subs command will substitute all x's in y with the value 3
                  % This should give 2*(3^2) + 6*3 + 3 = 39

因为这是 2D，我们将需要 2D 函数...所以让我们将 x 和 y 定义为变量。调用subs 命令的方式会略有不同：

syms x, y; % Two variables now
z = 2*x*y^2 + 6*y + x;
dzx = diff(z, 'x'); % Differentiate with respect to x - Should give 2*y^2 + 1
dzy = diff(z, 'y'); % Differentiate with respect to y - Should give 4*x*y + 6
out = subs(z, {x, y}, [2, 3]); % For z, with variables x,y, substitute x = 2, y = 3
                               % Should give 56

还有一件事……我们可以将方程放入向量或矩阵中，并使用subs 将x 和y 的所有值同时代入每个方程。

syms x, y;
z1 = 3*x + 6*y + 3;
z2 = 3*y + 4*y + 4;
f = [z1; z2];
out = subs(f, {x,y}, [2, 3]); % Produces a 2 x 1 vector with [27; 25]

我们可以对矩阵做同样的事情，但为简洁起见，我不会向您展示如何做到这一点。我会遵从代码，然后你就可以看到了。

既然我们已经确定了这一点，让我们一次处理您的代码，以真正实现动态化。您的函数需要初始猜测 x0，函数 f(x) 作为列向量，雅可比矩阵作为 2 x 2 矩阵和容差 tol。

在运行脚本之前，您需要生成参数：

syms x y; % Make x,y symbolic
f1 = x^2 + y^3 - 1; % Make your two equations (from your example)
f2 = x^4 - y^4 + x*y;
f = [f1; f2]; % f(x) vector

% Jacobian matrix
J = [diff(f1, 'x') diff(f1, 'y'); diff(f2, 'x') diff(f2, 'y')];

% Initial vector
x0 = [1; 1];

% Tolerance:
tol = 1e-10;

现在，将你的脚本变成一个函数：

% To run in MATLAB, do: 
% [n, xout, tol] = Jacobian2D(f, J, x0, tol);
% disp('n = '); disp(n); disp('x = '); disp(xout); disp('tol = '); disp(tol);

function [n, xout, tol] = Jacobian2D(f, J, x0, tol)

% Just to be sure...
syms x, y;

% Initialize error
ep = 1; % Note: eps is a reserved keyword in MATLAB

% Initialize counter
n = 0;

% For the beginning of the loop
% Must transpose into a row vector as this is required by subs
xout = x0';

% Computation loop     
while ep > tol && n < 100 
   g = subs(f, {x,y}, xout);   %g(x)
   ep = abs(g(1)) + abs(g(2)); %error     
   Jg = subs(J, {x,y}, xout);  %Jacobian  
   yout = xout - Jg\g;         %iterate     
   xout = yout;                %update x     
   n = n + 1;                  %counter+1     
end

% Transpose and convert back to number representation
xout = double(xout');

我可能应该告诉您，当您使用符号数学工具箱进行计算时，您计算数字时的数据类型是sym 对象。您可能希望将这些转换回实数，因此您可以使用double 将它们转换回。但是，如果您将它们保留为 sym 格式，它会将您的数字显示为整洁的分数（如果您正在寻找的话）。如果需要小数点表示，请转换为 double。

现在，当您运行此函数时，它应该会为您提供所需的内容。我没有测试过这段代码，但我很确定这会起作用。

很高兴回答您可能有的更多问题。希望这会有所帮助。

干杯！