牛顿法的收敛和发散

Question

我需要使用牛顿法找到arctan(xe)的根，并证明存在这样的“a”，如果|xe|a 方法发散，则导出方程为找 这个“a”并解决它。我写了一个程序，但不明白如何找到这个“a”。

#include <stdio.h>
#include <math.h>
double f(double x) ;
double fd(double x) ;
double newton(double x,double eps);
#define e 2.71828182845904523
int main() 
{
   double x,eps=1.e-16 ;
   printf("Enter x :") ;
   scanf("%le",&x) ; 
   printf("%le",newton(x,eps)) ;
   
    return 0;
}


double f(double x)
{
   double z ;
   z=atan(x-e);
   return z ; 
}

double fd(double x)
{
   double z ;
   z=1/((x-e)*(x-e)+1);
   return z ; 
}



double newton(double x,double eps)
{
  double x1 ;   
  
  while(1)
  {
    x1=x-f(x)/fd(x) ;
    if(fabs(x1-x)<eps) return x1 ; 
    x=x1 ;
  }
  
  return x1 ; 
}

Answer 1

double x 在 C 中的意思是在内存中提前堆栈。如果你不用 0 填充它，它只会占用x 下的值内存。

一个改进：double x = 0 或您想要的值。它会将 8 个字（1 个字 = 8 位）填充到 0x00000000，而不是像 0x2409caf42 或 idk 这样的随机数据

Answer 2

f(x)/df(x) 最小化一个函数。但是，如果您将导数最小化，您实际上会找到一个根 f。

df(x)/ddf(x).

• 如果你使用 f(x)/df(x)，最简单的方法是梯度下降：x -= 0.001*f(x)/df(x)

Answer 3

证明存在这样的a，如果|x-e|<a方法收敛

牛顿法在近似解接近正确解时起作用。

当候选解发散或振荡时，牛顿法会失败。

添加发散测试（例如：a 变为非数字或无穷大）和循环迭代限制。

使用二分搜索找到a 的上限：在近似解 (a = e) 和发散点 (a = e + 100) 之间。见下文。

重复（对a_min, a_max 角色和初始值进行代码调整）以找到a 的下限。未显示，留给 OP 查找。 （我发现低边 a 在 1.0 到 1.5 范围内）

int main() {
  double x, eps = 1.e-16;
  printf("Enter x :\n");
  //scanf("%le", &x);
  x = e*1.0001;
  printf("%le\n", newton(x, eps));

  double a_min = e;
  double a_max = e + 100.0;
  double a;
  while (1) {
    a = a_min + (a_max - a_min)/2;
    if (a == a_min) break;
    else if (a == a_max) break;
    if (a_min >= a_max) break;
    printf("a_min:%20e a_max:%20e a:%20e\n", a_min, a_max, a);
    if (isnan(newton(a, eps))) {
      a_max = a;
    } else {
      a_min = a;
    }
  }
  printf("a high side:%e\n", a);

  return 0;
}

double newton(double x, double eps) {
  double x1;

  int i;
  for (i=10; i>0; i--) {
    //printf("%2d %20e %20e %20e\n", i, x, fd(x), f(x));
    if (isnan(x)) return x;

    x1 = x - f(x) / fd(x);
    if (fabs(x1-x) < eps)
      return x1;
    x = x1;
  }
  return 0.0/0.0;
}

结果

Enter x :
2.718282e+00
a_min:        2.718282e+00 a_max:        1.027183e+02 a:        5.271828e+01
a_min:        2.718282e+00 a_max:        5.271828e+01 a:        2.771828e+01
a_min:        2.718282e+00 a_max:        2.771828e+01 a:        1.521828e+01
a_min:        2.718282e+00 a_max:        1.521828e+01 a:        8.968282e+00
a_min:        2.718282e+00 a_max:        8.968282e+00 a:        5.843282e+00
a_min:        2.718282e+00 a_max:        5.843282e+00 a:        4.280782e+00
a_min:        2.718282e+00 a_max:        4.280782e+00 a:        3.499532e+00
a_min:        3.499532e+00 a_max:        4.280782e+00 a:        3.890157e+00
a_min:        3.890157e+00 a_max:        4.280782e+00 a:        4.085469e+00
a_min:        4.085469e+00 a_max:        4.280782e+00 a:        4.183126e+00
a_min:        4.085469e+00 a_max:        4.183126e+00 a:        4.134297e+00
a_min:        4.085469e+00 a_max:        4.134297e+00 a:        4.109883e+00
...
a_min:        4.104323e+00 a_max:        4.104323e+00 a:        4.104323e+00
a high side:4.104323e+00

导出方程以找到这个“a”并求解它。

"Derive" --> dang，更有趣的模拟如上找到它。

考虑两个x:x_lo、x_hi 和牛顿迭代x_better(x) = x - f(x)/f'(x)。

当next_better(x_lo) == next_better(x_hi) 和x_lo < x_hi 时，我们处于一个振荡对中。

剩下的留给 OP。该走了。