MLP 神经网络：计算梯度（矩阵）

Question

在 n 层神经网络中计算梯度的好方法是什么？

权重层：

1. 第一层权重：    (n_inputs+1, n_units_layer)-matrix
2. 隐藏层权重：(n_units_layer+1, n_units_layer)-matrix
3. 最后一层权重：    (n_units_layer+1, n_outputs)-matrix

注意事项：

• 如果只有一个隐藏层，我们将只使用两个（权重）层来表示网络：
  inputs --first_layer-> network_unit --second_layer-> output
• 对于具有多个隐藏层的 n 层网络，我们需要实现 (2) 步骤。

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有点模糊的伪代码：

    weight_layers = [ layer1, layer2 ]             # a list of layers as described above
    input_values  = [ [0,0], [0,0], [1,0], [0,1] ] # our test set (corresponds to XOR)
    target_output = [ 0, 0, 1, 1 ]                 # what we want to train our net to output
    output_layers = []                             # output for the corresponding layers

    for layer in weight_layers:
        output <-- calculate the output     # calculate the output from the current layer
        output_layers <-- output            # store the output from each layer
    
    n_samples = input_values.shape[0]
    n_outputs = target_output.shape[1]
    
    error = ( output-target_output )/( n_samples*n_outputs )

    """ calculate the gradient here """

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最终实现

The final implementation is available at github.

Answer 1

使用 Python 和 numpy 很容易。

你有两个选择：

1. 您可以为 num_instances 实例并行计算所有内容，或者
2. 您可以计算一个实例的梯度（实际上是 1 的一个特例）。

我现在将给出一些提示如何实现选项 1。我建议您创建一个名为 Layer 的新类。它应该有两个功能：

向前： 输入： X: 形状 = [num_instances, num_inputs] 输入 W: 形状 = [num_outputs, num_inputs] 权重 b: 形状 = [num_outputs] 偏见 克：功能 激活函数 输出： Y: 形状 = [num_instances, num_outputs] 输出 反向传播： 输入： dE/dY: 形状 = [num_instances, num_outputs] 反向传播梯度 W: 形状 = [num_outputs, num_inputs] 权重 b: 形状 = [num_outputs] 偏见 gd：函数 计算 g(A) = Y 的导数 基于 Y，即 gd(Y) = g'(A) Y: 形状 = [num_instances, num_outputs] 输出 X: 形状 = [num_instances, num_inputs] 输入 输出： dE/dX：形状 = [num_instances, num_inputs] 将被反向传播（下层的 dE/dY） dE/dW：形状 = [num_outputs, num_inputs] 关于权重的累积导数 dE/db：形状 = [num_outputs] 关于偏差的累积导数

实现很简单：

def forward(X, W, b):
    A = X.dot(W.T) + b # will be broadcasted
    Y = g(A)
    return Y

def backprop(dEdY, W, b, gd, Y, X):
    Deltas = gd(Y) * dEdY # element-wise multiplication
    dEdX = Deltas.dot(W)
    dEdW = Deltas.T.dot(X)
    dEdb = Deltas.sum(axis=0)
    return dEdX, dEdW, dEdb

第一层的X 是您从数据集中获取的，然后您将每个Y 作为前向传递中下一层的X 传递。

输出层的dE/dY被计算为Y-T，其中Y是网络的输出(shape = [num_instances, num_outputs]) 和T (shape = [num_instances, num_outputs]) 是所需的输出。然后可以反向传播，即每一层的dE/dX是上一层的dE/dY。

现在您可以使用每一层的dE/dW 和dE/db 来更新W 和b。

以下是 C++ 示例：OpenANN。

顺便说一句。您可以比较 instance-wise 和 batch-wise 前向传播的速度：

In [1]: import timeit

In [2]: setup = """import numpy
   ...: W = numpy.random.rand(10, 5000)
   ...: X = numpy.random.rand(1000, 5000)"""

In [3]: timeit.timeit('[W.dot(x) for x in X]', setup=setup, number=10)
Out[3]: 0.5420958995819092

In [4]: timeit.timeit('X.dot(W.T)', setup=setup, number=10)
Out[4]: 0.22001314163208008