3D numpy 数组的每个元素的高效 1D 线性回归

Question

我有掩码数组的 3D 堆栈。我想对沿轴 0（时间）的每一行 col（空间索引）的值执行线性回归。这些堆栈的尺寸各不相同，但典型的形状可能是 (50, 2000, 2000)。我的空间有限但时间密集的测试用例具有以下维度：

stack.ma_stack.shape

(1461, 390, 327)

我对每一行进行了快速测试，col:

from scipy.stats.mstats import linregress
#Ordinal dates
x = stack.date_list_o
#Note: idx should be row, col
def sample_lstsq(idx):
    b = stack.ma_stack[:, idx[0], idx[1]]
    #Note, this is masked stats version
    slope, intercept, r_value, p_value, std_err = linregress(x, b)
    return slope

out = np.zeros_like(stack.ma_stack[0])
for row in np.arange(stack.ma_stack.shape[1]):
    for col in np.arange(stack.ma_stack.shape[2]):
        out[row, col] = sample_lstsq((row, col))

这有效（缓慢）。我知道必须有更有效的方法。

我开始使用索引数组和 np.vectorize，但我认为这实际上不会提供任何真正的改进。我考虑过将所有内容都转储到 Pandas 或尝试移植到 Cython，但我希望我能坚持使用 NumPy/SciPy。或者也许并行解决方案是我提高性能的最佳选择？

另外，有人对 NumPy/SciPy 线性回归选项进行了基准测试吗？我遇到了以下选项，但没有测试过自己：

• scipy.stats.linregress
• numpy.linalg.leastsq
• numpy.polyfit(deg=1)

我希望有一种现有的方法可以显着提升性能，而无需大量实施工作。谢谢。

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已于 2013 年 12 月 3 日@02:29 编辑

@HYRY 建议的方法非常适用于上述示例数据集（运行时间约为 15 秒），该示例数据集在所有维度（空间和时间）上都是连续的（未屏蔽）。但是，当将包含缺失数据的掩码数组传递给 np.linalg.leastsq 时，所有掩码值都用 fill_value（默认 1E20）填充，这会导致虚假的线性拟合。

幸运的是，numpy 掩码数组模块有 np.ma.polyfit(deg=1)，它可以处理像 np.linalg.leastsq 这样的 2D y 数组。查看源代码 (https://github.com/numpy/numpy/blob/v1.8.0/numpy/ma/extras.py#L1852)，ma polyfit 只是 np.polyfit 的包装器，它使用来自 x 和 y 掩码的组合掩码。当 y 中缺失数据的位置不变时，这对于 2D y 非常有效。

不幸的是，我的数据在空间和时间上有可变的缺失数据位置。这是另一个堆栈的示例：

In [146]: stack.ma_stack.shape
Out [146]: (57, 1889, 1566)

对单个索引进行采样会返回具有 6 个未屏蔽值的时间序列：

In [147]: stack.ma_stack[:,0,0]
Out [147]: 
masked_array(data = [-- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --
 519.7779541015625 -- -- -- 518.9047241210938 -- -- -- -- -- -- --
 516.6539306640625 516.0836181640625 515.9403686523438 -- -- -- --
 514.85205078125 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --],
             mask = [ True  True  True  True  True  True  True  True  True  True  True  True
  True  True  True  True  True  True  True  True  True False  True  True
  True False  True  True  True  True  True  True  True False False False
  True  True  True  True False  True  True  True  True  True  True  True
  True  True  True  True  True  True  True  True  True],
       fill_value = 1e+20)

对不同位置进行采样会返回来自不同时间片的不同数量的未屏蔽值：

In [148]: stack.ma_stack[:,1888,1565]
Out[148]:
masked_array(data = [-- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --
 729.0936889648438 -- -- -- 724.7155151367188 -- -- -- -- -- -- --
 722.076171875 720.9276733398438 721.9603881835938 -- 720.3294067382812 --
 -- 713.9591064453125 709.8037719726562 707.756103515625 -- -- --
 703.662353515625 -- -- -- -- 708.6276245117188 -- -- -- -- --],
             mask = [ True  True  True  True  True  True  True  True  True  True  True  True
  True  True  True  True  True  True  True  True  True False  True  True
  True False  True  True  True  True  True  True  True False False False
  True False  True  True False False False  True  True  True False  True
  True  True  True False  True  True  True  True  True],
       fill_value = 1e+20)

每个索引的未屏蔽值的最小数量为 6，最大为 45。因此每个位置至少有一些屏蔽值。

作为参考，我的 x（时间序数）值都未屏蔽：

In [150]: stack.date_list_o
Out[150]:
masked_array(data = [ 733197.64375     733962.64861111  733964.65694444  733996.62361111
  733999.64236111  734001.63541667  734033.64305556  734071.64722222
  734214.675       734215.65694444  734216.625       734226.64722222
  734229.63819444  734232.65694444  734233.67847222  734238.63055556
  734238.63055556  734245.65277778  734245.65277778  734255.63125
  734255.63125     734307.85        734326.65138889  734348.63888889
  734348.63958333  734351.85        734363.70763889  734364.65486111
  734390.64722222  734391.63194444  734394.65138889  734407.64652778
  734407.64722222  734494.85        734527.85        734582.85
  734602.65486111  734664.85555556  734692.64027778  734741.63541667
  734747.85        734807.85555556  734884.85555556  734911.65763889
  734913.64375     734917.64236111  734928.85555556  734944.71388889
  734961.62777778  735016.04583333  735016.62777778  735016.85555556
  735036.65347222  735054.04583333  735102.63125     735119.61180556
  735140.63263889],
             mask = False,
       fill_value = 1e+20)

所以我重塑 stack.ma_stack 并运行 polyfit：

newshape = (stack.ma_stack.shape[0], stack.ma_stack.shape[1]*stack.ma_stack.shape[2])
print newshape
#(57, 2958174)
y = stack.ma_stack.reshape(newshape)
p = np.ma.polyfit(x, y, deg=1)

但是到 ~1500 列，y 中的每一行都被“累积”屏蔽，我收到一些抱怨和空输出：

RankWarning: Polyfit may be poorly conditioned
** On entry to DLASCL, parameter number  4 had an illegal value
...

因此，使用在不同位置缺少数据的 2D y 似乎是行不通的。我需要一个使用每个 y 列中所有可用的未屏蔽数据的最小平方拟合。可能有一种方法可以通过仔细压缩 x 和 y 并跟踪未屏蔽的索引来做到这一点。

还有其他想法吗？ pandas 开始看起来可能是一个很好的解决方案。

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于 2013 年 12 月 3 日编辑 @20:29

@HYRY 提供了一种适用于时间（轴=0）维度中缺失值的解决方案。我不得不稍微修改以处理空间（axes = 1,2）维度中的缺失值。如果一个特定的空间索引在时间上只有一个未屏蔽的条目，我们当然不想尝试线性回归。这是我的实现：

def linreg(self):
    #Only compute where we have n_min unmasked values in time
    n_min = 3
    valid_idx = self.ma_stack.count(axis=0).filled(0) >= n_min
    #Returns 2D array of unmasked columns
    y = self.ma_stack[:, valid_idx]

    #Extract mask for axis 0 - invert, True where data is available
    mask = ~y.mask
    #Remove masks, fills with fill_value
    y = y.data
    #Independent variable is time ordinal
    x = self.date_list_o
    x = x.data

    #Prepare matrices and solve
    X = np.c_[x, np.ones_like(x)]
    a = np.swapaxes(np.dot(X.T, (X[None, :, :] * mask.T[:, :, None])), 0, 1)
    b = np.dot(X.T, (mask*y))
    r = np.linalg.solve(a, b.T)

    #Create output grid with original dimensions
    out = np.ma.masked_all_like(self.ma_stack[0])
    #Fill in the valid indices
    out[valid_idx] = r[:,0]

运行时间非常快 - 此处讨论的数组维度只需约 5-10 秒。

Answer 1

如果我理解正确，你想做很多线性回归y = k * x + b，只有一个x，但是很多y，对于每个y，你想要计算k和b .

如果x的shape是50，y是(50, 1000)，你可以使用numpy.linalg.lstsq，这里有一些demo：

import numpy as np

x = np.random.rand(50)
k = np.random.rand(1000)
b = np.random.rand(1000)

y = np.outer(x, k) + b + np.random.normal(size=(50, 1000), scale=1e-10)

r = np.linalg.lstsq(np.c_[x, np.ones_like(x)], y)[0]

print np.allclose(r[0], k)
print np.allclose(r[1], b)

对于形状为 (50, 2000, 2000) 的 y，您可以将其重塑为 (50, 2000*2000)。

编辑

这里是我的屏蔽数组解决方案。公式为：

将 Y 准备为形状为 (1889*1566, 57) 的二维数组，将 X 准备为形状为 (57, 2) 的二维数组。 mask 为与 Y 形状相同的 bool 数组，True 表示 Y 中的值可用。

计算数组a的形状为(1889*1566, 2, 2)，b的形状为(1889*1566, 2)，然后调用numpy.linalg.solve(a, b)，这里是一些演示代码：

import numpy as np

N = 50
M = 1000

x = np.random.rand(N)
X = np.c_[x, np.ones_like(x)]
beta = np.random.rand(M, 2)
Y = np.dot(beta, X.T)
Y += np.random.normal(scale=0.1, size=Y.shape)
mask = np.random.randint(0, 2, size=Y.shape).astype(np.bool)

a = np.swapaxes(np.dot(X.T, (X[None, :, :] * mask[:, :, None])), 0, 1)
b = np.dot(X.T, (mask*Y).T)
beta2 = np.linalg.solve(a, b.T)

i = 123
print "real:", beta[i]
print "by solve:", beta2[i]

m = mask[i]
x2 = X[m]
y2 = Y[i, m]
print "by lstsq:", np.linalg.lstsq(x2, y2)[0]

输出第123个系数：

real: [ 0.35813131  0.29736779]
by solve: [ 0.38088499  0.30382547]
by lstsq: [ 0.38088499  0.30382547]

你也可以通过以下代码计算a数组，我认为它会比上面的方法使用更少的内存：

a2 = np.empty((M, 2, 2))
xm = mask * x
a2[:, 0, 0] = (xm*xm).sum(1)
a2[:, 1, 0] = (xm*mask).sum(1)
a2[:, 0, 1] = a2[:, 1, 0]
a2[:, 1, 1] = (mask).sum(1)

print np.allclose(a2, a)