排序算法中的决策树分析

Question

在具有 n 个元素的排序算法中高度为 h 的决策树中：

我们有这样的东西：

n! <= 2^h

因此 h>=log(n!)

我知道 n^n 大于 n!，但这里我们谈论的是最坏情况下的下限，log(n!) 的图低于 (log n^n) 的图。所以简单的答案应该是 Ω(log n!)，因为它不能低于这个值。

那么我们怎么能在这里说 h= Ω(nlogn)..？

Answer 1

你说得对！和 nⁿ 具有不同的增长率，但它们的日志（log n! 和 log nⁿ）实际上具有相同的增长率。 @Salvador Dali 指出，斯特林的近似值是一种很好的看待这一点的方法，但这是看待这一点的另一种方式。

首先，请注意 log nⁿ = n log n 通过对数的属性。这是最简单的。

那（log n！）呢？首先，请注意

记录 n!

= log (n · (n-1) · (n-2) · .. · 2 · 1)

= log n + log (n-1) + log (n-2) + ... + log 2 + log 1

这再次使用对数的属性。由此，我们可以看到 log n! = O(n log n)，因为

log n + log (n-1) + log (n-2) + ... + log 2 + log 1

≤ log n + log n + log n + ... + log n + log n（n次）

= n log n

我还要声明那个 log n！ = Ω(n log n)。这是看待这一点的一种方式。看上面求和的前n/2项，就是

log n + log (n-1) + log(n-2) + ... + log(n/2)

注意这个数量不小于

log (n/2) + log (n/2) + log(n/2) + ... + log(n/2) (n/2 次)

= (n/2) 对数 (n/2)

最后一个量是 Ω(n log n)，所以总的来说我们看到 log n！ = O(n log n) 和那个 log n! = Ω(n log n)，所以 n！ = Θ(n log n)。换句话说，记录 n!以与 log nⁿ 相同的速率渐近增长，即使原始函数 n!和 nⁿ 有不同的增长率。​​p>

希望这会有所帮助！

Answer 2

基本上这里是您的 log(n!) 的近似值：

您可以从Stirling's approximation 证明它，它是n! 的近似值：

他们还给你一个稍微不那么严格的近似值：

如果您对如何证明它感兴趣，只需仔细使用斯特林公式的对数即可。