聚类点达到全局最小值答案

【问题标题】：Clustering points to reach global minimum聚类点达到全局最小值
【发布时间】：2018-06-26 14:00:32
【问题描述】：

对于多个点，例如 100 个点，每两个点都有一个“连接”（一个数字），算法的目标是将这些点分成给定数量的集群（如 5 个集群），最小化集群内的总连接数。

输入：一个形状为 n * n 的矩阵，matrix[i][j] 描述了点 i 和 j 之间的连接（矩阵应该是对称矩阵）。簇数 m。

输出： n 个点的 m 个聚类。并且集群内的总连接被最小化。

T= ∑(C⊆m)∑(i,j⊆C)M_ij

（目标是最小化上面的T）

For example: 5 points with the matrix
    1   2   3   4  5 
1  0.1 0.1 0.3 0.5 0.7
2  0.1 0.1 0.7 0.9 1.1
3  0.3 0.7 0.5 0.1 0.2
4  0.5 0.9 0.1 0.3 0.5
5  0.7 1.1 0.2 0.5 0.1
To split into 2 clusters, the splitting
Cluster 1: {1,2}
Cluster 2: {3,4,5}
has the total internal connection of T = C1 + C2 = M12 + M34 + M35 + M45 = 0.1 + 0.1 + 0.2 + 0.5 = 0.9

The splitting
Cluster 1: {1,3,4}
Cluster 2: {2,5}
Has the total internal connection  T = C1 + C2 = M13 + M14 + M34 + M25 =  0.3 + 0.5 + 0.1 + 1.1 = 2.0

目标是找到最低的内部连接

当 n 和 m 很小时，这很容易，只需循环所有可能的情况以找到全局最小值。但是当 n 和 m 变大时，迭代是不可能的。

我已经尝试过 Kernighan-Lin 算法来解决这个问题。用随机分裂初始化，然后定义两个行为，将点插入到另一个簇中，并在两个簇中交换两个点，每次都找到最能降低簇内总连接数的行为。应用此行为，然后再次重新计算，直到没有更多的插入/交换可以降低总连接数。（贪心算法策略）。

但是只能达到局部最小值，不同的初始化，结果也不同。是否有解决此问题以达到全局最小值的标准方法？

【问题讨论】：

在不知道如何定义连接的情况下，可能没什么可利用的。
连接只是一个随机数，就像图中的边一样。
所以没有像度量（三角形 ineq 和 co.）那样可以利用的数学结构？好吧..除了蛮力之外，您无能为力。而且连接只是一个随机数，就像图中的边一样。非常非正式。
对不起，非正式的描述。我现在更新了这个问题，对你来说更有意义吗？谢谢

标签： algorithm cluster-analysis partition

【解决方案1】：

这个问题据说是 NP 难的，所以要么你使用局部最优，要么你必须尝试所有 O(k^n) 的可能性。

您可以使用局部最优来限制搜索，但不能保证这会有很大帮助。

【讨论】：