从Stata中的指数分布生成随机样本

Question

我正在尝试在 Stata 中使用 10000 个随机样本进行模拟，用于 (i) 带有 pdf 的变量 X f(x) = 2*x*exp(-x^2), X>0，和 (ii) Y=X^2 我计算出 F 的 cdf 为 1-exp(-x^2)，所以 F 的倒数是 sqrt(-ln(1-u). 我在Stata中使用了以下代码：

(1)  
 clear  
 set obs 10000  
 set seed 527665  
 gen u= runiform()  
 gen x= sqrt(-ln(1-u))  
 histogram x  
 summ x, detail  
(mean 0.88, sd 0.46)  
  

(2)  
clear  
set obs 10000  
set seed 527665  
gen u= runiform()  
gen x= (sqrt(-ln(1-u)))^2  
summ x, detail  
(mean 0.99, sd 0.99) 

(3)    
clear  
set obs 10000  
set seed 527665  
gen u= rexponential(1)  
gen x= 2*u*exp(-(u^2))  
summ x, detail  
(mean 0.49, sd 0.28)  

(4)
clear  
set obs 10000  
set seed 527665  
gen v= runiform()  
gen u=1/v  
gen x= 2*u*exp(-(u^2))  
histogram x  
summ x, detail  
(mean 0.22, sd 0.26)

我的查询是：（i）（1）和（2）基于概率积分变换，我遇到过但不明白。如果（1）和（2）是有效的方法，这背后的直觉是什么，（ii）（3）的输出似乎不正确；我不确定我是否正确应用了指数函数，以及比例参数是什么（在 stata 帮助中似乎对此没有解释）（iii）（4）的输出似乎也不正确，我是想知道为什么这种方法有缺陷。

谢谢

Answer 1

嗯，我认为你的分发方式没问题

如果

PDF(x) = 2 x exp(-x²), x in [0...Infinity) 然后

CDF(x) = 1 - exp(-x²)

这意味着它基本上是指数分布的 RV 的平方根。 Exponential distribution 采样完成 使用-ln(1-u) 或-ln(u)

我没有Stata，只是看代码

(1) 看起来不错，您对指数进行采样并得到平方根

(2) 看起来您正在对指数的平方根进行采样并立即将其平方。 我相信你会得到指数级回报

(3) 我不知道它应该是什么意思，平方指数的指数？应该是

clear  
set obs 10000  
set seed 527665  
gen u = rexponential(1)  
gen x = sqrt(u)
summ x, detail  

reexponential() 与 -ln(1-runiform()) 相同

(4) 没有意义。平方均匀的指数？

我很快就写了简单的 Python 代码来说明

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.random.random(100000) // uniform in [0...1)
xx = np.sqrt(-np.log(1.0-x)) // -log(1-x) is exponential, then square root

q = np.linspace(0.0, 3.0, 101)
z = 2.0*q*np.exp(-q*q)

n, bins, patches = plt.hist(xx, 50, density=True, facecolor='g', alpha=0.75)
plt.plot(q, z, 'r-')
plt.show()

有图片