完全矢量化 numpy polyfit

Question

概述

我在使用 polyfit 时遇到了性能问题，因为它似乎无法接受广播数组。我知道from this post 如果您使用numpy.polynomial.polynomial.polyfit，则依赖数据y 可以是多维的。但是，x 维度不能是多维的。反正有这个吗？

动机

我需要计算一些数据的变化率。为了与实验相匹配，我想使用以下方法：获取数据y 和x，对于短部分数据拟合多项式，然后使用拟合系数作为变化率的估计值。

插图

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

n = 100
x = np.linspace(0, 10, n)
y = np.sin(x)

window_length = 10
ydot = [np.polyfit(x[j:j+window_length], y[j:j+window_length], 1)[0] 
                                  for j in range(n - window_length)]
x_mids = [x[j+window_length/2] for j in range(n - window_length)]

plt.plot(x, y)
plt.plot(x_mids, ydot)

plt.show()

蓝线是原始数据（正弦曲线），而绿线是一阶微分（余弦曲线）。

问题

为了矢量化，我做了以下操作：

window_length = 10
vert_idx_list = np.arange(0, len(x) - window_length, 1)
hori_idx_list = np.arange(window_length)
A, B = np.meshgrid(hori_idx_list, vert_idx_list)
idx_array = A + B 

x_array = x[idx_array]
y_array = y[idx_array]

这会将两个 1D 向量广播到形状为 (n-window_length, window_length) 的 2D 向量。现在我希望polyfit 会有一个axis 参数，这样我就可以并行计算，但没有这样的运气。

有人对如何做到这一点有任何建议吗？我愿意

Answer 1

polyfit 的工作方式是解决以下形式的最小二乘问题：

y = [X].a

其中y 是您的从属坐标，[X] 是相应独立坐标的Vandermonde matrix，a 是拟合系数的向量。

在您的情况下，您总是在计算 1 次多项式近似值，并且实际上只对 1 次项的系数感兴趣。这有一个well known closed form solution，您可以在任何统计书籍中找到，或者通过创建一个 2x2 线性方程组，通过 [X] 的转置预乘上述方程的两边来产生自己的结果。这一切加起来就是您要计算的值：

>>> n = 10
>>> x = np.random.random(n)
>>> y = np.random.random(n)
>>> np.polyfit(x, y, 1)[0]
-0.29207474654700277
>>> (n*(x*y).sum() - x.sum()*y.sum()) / (n*(x*x).sum() - x.sum()*x.sum())
-0.29207474654700216

除此之外，您的数据上有一个滑动窗口，因此您可以使用类似于1D summed area table 的东西，如下所示：

def sliding_fitted_slope(x, y, win):
    x = np.concatenate(([0], x))
    y = np.concatenate(([0], y))
    Sx = np.cumsum(x)
    Sy = np.cumsum(y)
    Sx2 = np.cumsum(x*x)
    Sxy = np.cumsum(x*y)

    Sx = Sx[win:] - Sx[:-win]
    Sy = Sy[win:] - Sy[:-win]
    Sx2 = Sx2[win:] - Sx2[:-win]
    Sxy = Sxy[win:] - Sxy[:-win]

    return (win*Sxy - Sx*Sy) / (win*Sx2 - Sx*Sx)

使用此代码，您可以轻松检查（注意我将范围扩大了 1）：

>>> np.allclose(sliding_fitted_slope(x, y, window_length),
                [np.polyfit(x[j:j+window_length], y[j:j+window_length], 1)[0]
                 for j in range(n - window_length + 1)])
True

还有：

%timeit sliding_fitted_slope(x, y, window_length)
10000 loops, best of 3: 34.5 us per loop

%%timeit
[np.polyfit(x[j:j+window_length], y[j:j+window_length], 1)[0]
 for j in range(n - window_length + 1)]
100 loops, best of 3: 10.1 ms per loop

因此，您的样本数据速度大约快 300 倍。

Answer 2

使用另一种计算变化率的方法可能是提高速度和准确性的解决方案。

n = 1000
x = np.linspace(0, 10, n)
y = np.sin(x)


def timingPolyfit(x,y):
    window_length = 10
    vert_idx_list = np.arange(0, len(x) - window_length, 1)
    hori_idx_list = np.arange(window_length)
    A, B = np.meshgrid(hori_idx_list, vert_idx_list)
    idx_array = A + B 

    x_array = x[idx_array]
    y_array = y[idx_array]

    ydot = np.polynomial.polynomial.polyfit(x_array[0], y_array.T, 1)[-1]
    x_mids = [x[j+window_length/2] for j in range(n - window_length)]

    return ydot, x_mids

def timingSimple(x,y):
    dy = (y[2:] - y[:-2])/2
    dx =  x[1] - x[0]
    dydx = dy/dx
    return dydx, x[1:-1]

y1, x1 = timingPolyfit(x,y)
y2, x2 = timingSimple(x,y)

polyfitError = np.abs(y1 - np.cos(x1))
simpleError = np.abs(y2 - np.cos(x2))

print("polyfit average error: {:.2e}".format(np.average(polyfitError)))
print("simple average error: {:.2e}".format(np.average(simpleError)))

result = %timeit -o timingPolyfit(x,y)
result2 = %timeit -o timingSimple(x,y)

print("simple is {0} times faster".format(result.best / result2.best))

---

polyfit average error: 3.09e-03 
simple average error: 1.09e-05 
100 loops, best of 3: 3.2 ms per loop 
100000 loops, best of 3: 9.46 µs per loop 
simple is 337.995634151131 times faster 

相对误差：

结果：

Answer 3

很抱歉回答了我自己的问题，但尝试掌握它还有 20 分钟的时间，我有以下解决方案：

ydot = np.polynomial.polynomial.polyfit(x_array[0], y_array.T, 1)[-1]

一个令人困惑的部分是np.polyfit 返回具有最高幂的系数first。在np.polynomial.polynomial.polyfit 中，最高功率是last（因此使用-1 而不是0 索引）。

另一个混淆是我们只使用了x (x_array[0]) 的第一部分。我认为这没关系，因为使用的不是独立向量x 的绝对值，而是它们之间的差异。或者，它就像更改引用 x 值。

如果有更好的方法来做到这一点，我仍然很高兴听到它！