没有曲线拟合工具箱的指数曲线拟合？答案

【问题标题】：Exponential curve fitting without the Curve Fitting toolbox?没有曲线拟合工具箱的指数曲线拟合？
【发布时间】：2015-06-20 11:12:21
【问题描述】：

我有一些数据点需要拟合表格的指数曲线

y = B * exp(A/x)

（没有Curve Fitting Toolbox的帮助）。

到目前为止，我尝试通过应用 log 来线性化模型，结果

log(y/B) = A/x

log(y) = A/x + log(B)

然后我可以把它写成表格

Y = AX + B

现在，如果我忽略了B，那么我可以解决它

A = pseudoinverse (X) * Y

但我坚持使用 B...

【问题讨论】：

而且...你到底卡在哪里了？你怎么尝试没有给你预期的结果？请提供更多详细信息。
感谢您的回复，我已编辑。任何帮助将不胜感激
嗨，我正在测试它，我已经休息了几天。很快就会更新，感谢您的帮助

标签： matlab curve-fitting

【解决方案1】：

拟合形状的曲线

y = b * exp(a / x)

对于一些数据点(xi, yi) 在最小二乘意义上是困难的。您不能为此使用线性最小二乘法，因为模型参数（a 和 b）不会以仿射方式出现在方程中。除非您准备好使用一些非线性最小二乘法，否则另一种方法是修改优化问题，以便使用线性最小二乘法解决修改后的问题（此过程有时称为“数据线性化”）。让我们这样做吧。

在b 和yi 为正的假设下，您可以将自然对数应用于等式两边：

log(y) = log(b) + a / x

或

a / x + log(b) = log(y)

通过引入一个新参数b2，定义为log(b)，很明显参数a 和b2 在新方程中以线性（实际上是仿射）方式出现：

a / x + b2 = log(y)

因此，您可以使用最小二乘法计算这些参数的最优值；您剩下要做的就是构建正确的线性系统，然后使用 MATLAB 的反斜杠运算符对其进行求解：

A = [1 ./ x, ones(size(x))];
B = log(y);
params_ls = A \ B;

（这里我假设x 和y 是列向量。）

然后，修改后问题的最优值（在最小二乘意义上）由下式给出：

a_ls = params_ls(1);
b_ls = exp(params_ls(2));

虽然这些值通常不是原始问题的最优值，但在实践中它们通常“足够好”。如果需要，您始终可以将它们用作某些迭代非线性最小二乘法的初始猜测。

【讨论】：

【解决方案2】：

进行对数变换然后使用线性回归应该可以做到。维基百科有一个很好的部分介绍了如何做到这一点： http://en.wikipedia.org/wiki/Linear_least_squares_%28mathematics%29#The_general_problem

    %MATLAB code for finding the best fit line using least squares method
    x=input('enter a')                      %input in the form of matrix, rows contain points
        a=[1,x(1,1);1,x(2,1);1,x(3,1)]          %forming A of Ax=b
        b=[x(1,2);x(2,2);x(3,2)]                %forming b of Ax=b
        yy=inv(transpose(a)*a)*transpose(a)*b   %computing projection of matrix A on b, giving x
    %plotting the best fit line
      xx=linspace(1,10,50);
      y=yy(1)+yy(2)*xx;
      plot(xx,y)
         %plotting the points(data) for which we found the best fit line
     hold on
        plot(x(2,1),x(2,2),'x')
     hold on
        plot(x(1,1),x(1,2),'x')
     hold on
        plot(x(3,1),x(3,2),'x')
     hold off

我确信代码可以被清理，但这就是它的要点。

【讨论】：