约束高阶多项式回归答案

【问题标题】：Constrained high order polynomial regression约束高阶多项式回归
【发布时间】：2015-08-31 19:16:12
【问题描述】：

我正在做一些骨骼分割，而分割的结果是围绕该骨骼以圆形图案放置的点。然而，由于它是使用 qCT 扫描进行的，所以我所拥有的点上有很多噪音（例如来自肉体）。所以整体的问题是如何去除这些噪音。

我目前正在做的是将其转换为移位数据上的极坐标，这样我就可以根据角度获得从骨骼中心到点的距离数据。

[THETA,RHO] = car2pol(N(1,:),N(2,:),center);
[THETA, id] = unique(THETA);

获得这些数据后，我会进行高阶 (30) 多项式回归，它可以很好地消除噪声并产生漂亮的平滑曲线。

[p,~,mu] = polyfit(THETA,RHO,30);
RHO = polyval(p,THETA,[],mu);

然后我将其转换回笛卡尔坐标：

[x,y] = pol2car(THETA,RHO,center);

我这里唯一的问题是回归后起点和终点不一定是同一点，它们应该是。所以我的问题是，你能做某种类型的约束多项式回归，我可以强制第一个点的 y 值与另一个端点的 y 值具有相同的值吗？或者有没有其他方法可以做到这一点？

【问题讨论】：

没有数值工作示例很难说，但它与 THETA 的相位环绕有关吗？另外，为什么边界点应该具有相同的 y 值？
因为角度-pi的中心到点的距离应该与角度pi的中心到点的距离相同。我只是在极坐标中工作以平滑数据，然后我想回到笛卡尔坐标，但如果端点不一样，那么曲线在那一点就不平滑。

【解决方案1】：

我会推荐傅立叶回归，而不是多项式回归，即

rho = a0 + a1 * cos(theta) + a2 * cos(2*theta) + a3 * cos(3*theta) + ...
           b1 * sin(theta) + b2 * sin(2*theta) + b3 * sin(3*theta) + ...

例如，给出以下几点

>> plot(x, y, '.')

你可以转换成极坐标

>> [theta, r] = cart2pol(x, y);

并创建一个正弦和余弦数组

>> X = ones(size(theta, 1), 1);
>> for n = 1:N
       X(:, end+1) = cos(n * theta);
       X(:, end+1) = sin(n * theta);
   end

并运行标准线性回归

>> b = regress(r, X);

然后您可以获取预测并将其转换回笛卡尔坐标来绘制它

>> rhat = X * b;
>> [xhat,yhat] = pol2cart(theta, rhat);

给了

>> plot(x, y, '.');
>> hold on;
>> plot(xhat, yhat, 'r', 'LineWidth', 2)

【讨论】：