R lm() 中的 ^ 符号

Question

在 R 中运行回归：

fit = lm(y ~ x + log(x) + z + log(z) + (z-1)^2, data=data)

我得到高得离谱的 R^2 值。我将 (z-1)^2 替换为我将调用的变量 q，该变量定义为 (z-1)^2，我得到的 R^2 值要低得多。

我现在很清楚 ^ 在 lm() 中不充当指数，但它的作用是什么？我看了这里http://faculty.chicagobooth.edu/richard.hahn/teaching/FormulaNotation.pdf，但我并没有真正理解它。

Answer 1

在上一个答案的基础上，如果没有 I() 运算符，lm() 不会 interepret 数学运算符进行数学运算。因此，如果没有 I()，“-1”对 lm() 的影响与使用“+0”类似，即不使用“(Intercept)”术语。因此R-squared 的值更高（details here），因为R-squared 计算中的分母变为(yi^2) 而不是(yi - y_bar)^2。下面的代码显示了lm() 计算方式的异同。

# Create sample dataframe
x <- 10 + rnorm(100)
y <- 11 + rnorm(100)
z <- 12 + rnorm(100)
df <- data.frame(x,y,z)

(1) 不使用术语“(z-1)”

lm.fit <- lm(y ~ x + log(x) + z + log(z), data=df)
summary(lm.fit)

# (2) 使用术语“(z-1)^2” 注意：这里，没有“I((z-1)^2)”中的“I”，lm() 函数不会将“-,^”视为算术运算符

lm.fit <- lm(y ~ x + log(x) + z + log(z) + (z-1)^2, data=df)
summary(lm.fit)

(3) 在不使用I() 的情况下，lm() 函数将“(z-1)^2”解释为由“*”表示的交互“(z-1)*(z-1)”

lm.fit <- lm(y ~ x + log(x) + z + log(z) + (z-1)*(z-1), data=df)
summary(lm.fit)

(4a) 如果不使用I()，(3) 交互项可以分解如下：

 lm.fit <- lm(y ~ x + log(x) + z + log(z) + (z-1) + (z-1) + (z-1):(z-1), data=df)
 summary(lm.fit)

(4b) 去掉括号

 lm.fit <- lm(y ~ x + log(x) + z + log(z) + z-1 + z-1 + (z-1):(z-1), data=df)
 summary(lm.fit)

(4c) 只保留“z:-1”字词

 lm.fit <- lm(y ~ x + log(x) + z + log(z) + z:-1, data=df)
 summary(lm.fit)

(4d) 与 (4c) 工作方式相同

 lm.fit <- lm(y ~ x + log(x) + z + log(z) + z-1, data=df)
 summary(lm.fit)

(5) 不使用“-1”，lm() 函数使用“拦截”术语

 lm.fit <- lm(y ~ x + log(x) + z + log(z) + z + z + z:z, data=df)
 summary(lm.fit)

(6) 使用单独的变量执行 lm() 函数之外的数学部分。

因此拦截包含在lm() 中。

var_z <- (z-1)^2
lm.fit <- lm(y ~ x + log(x) + z + log(z) + var_z, data=df)
summary(lm.fit)

(7) 在lm() 函数中使用I()：

它允许它解释数学运算符来进行数学运算。在这里，拦截包含在lm()中。

 lm.fit <- lm(y ~ x + log(x) + z + log(z) + I((z-1)^2), data=df)
 summary(lm.fit)

Answer 2

术语 (z-1)^2 与交互作用 (z-1)*(z-1) 相同，而不是 (z-1) 的平方幂。 如果您希望公式按字面意思表示，则应使用I()。 您可以查看?I和?formula以供进一步参考，