用 scipy 拟合微分方程

Question

如何拟合下面scipy教程的微分函数

Scipy Differential Equation Tutorial?

最后，我想拟合一些数据点，这些数据点遵循一组两个微分方程，总共有六个参数，但我想从一个简单的例子开始。到目前为止，我尝试了 scipy.optimize.curve_fit 和 scipy.optimize.leastsq 函数，但我没有得到任何结果。

这就是我走了多远：

import numpy as np
import scipy.optimize as scopt
import scipy.integrate as scint
import scipy.optimize as scopt

def pend(y, t, b, c):
    theta, omega = y
    dydt = [omega, -b*omega - c*np.sin(theta)]
    return dydt


def test_pend(y, t, b, c):
    theta, omega = y
    dydt = [omega, -b*omega - c*np.sin(theta)]
    return dydt

b = 0.25
c = 5.0

y0 = [np.pi - 0.1, 0.0]
guess = [0.5, 4]
t = np.linspace(0, 1, 11)

sol = scint.odeint(pend, y0, t, args=(b, c))

popt, pcov = scopt.curve_fit(test_pend, guess, t, sol)

带有以下错误消息：

ValueError: too many values to unpack (expected 2)

我很抱歉，因为假设这是一个非常简单的问题，但我没有让它工作。所以提前谢谢。

Answer 1

您需要提供一个函数f(t,b,c)，它给定一个参数或t 中的参数列表返回函数在参数处的值。这需要一些工作，要么通过确定t 的类型，要么通过使用任何一种方式的构造：

def f(t,b,c): 
    tspan = np.hstack([[0],np.hstack([t])])
    return scint.odeint(pend, y0, tspan, args=(b,c))[1:,0]

popt, pcov = scopt.curve_fit(f, t, sol[:,0], p0=guess)

返回popt = array([ 0.25, 5. ])。

这可以扩展以适应更多参数，

def f(t, a0,a1, b,c): 
    tspan = np.hstack([[0],np.hstack([t])])
    return scint.odeint(pend, [a0,a1], tspan, args=(b,c))[1:,0]

popt, pcov = scopt.curve_fit(f, t, sol[:,0], p0=guess)

导致popt = [ 3.04159267e+00, -2.38543640e-07, 2.49993362e-01, 4.99998795e+00]。

---

另一种可能性是显式计算与目标解的差异的平方范数，并将最小化应用于如此定义的标量函数。

 def f(param): 
     b,c = param
     t_sol = scint.odeint(pend, y0, t, args=(b,c))
     return np.linalg.norm(t_sol[:,0]-sol[:,0]);

res = scopt.minimize(f, np.array(guess))

返回res

      fun: 1.572327981969186e-08
 hess_inv: array([[ 0.00031325,  0.00033478],
                  [ 0.00033478,  0.00035841]])
      jac: array([ 0.06129361, -0.04859557])
  message: 'Desired error not necessarily achieved due to precision loss.'
     nfev: 518
      nit: 27
     njev: 127
   status: 2
  success: False
        x: array([ 0.24999905,  4.99999884])