模拟 CDF 曲线以进行渗透/采用外推

Question

我希望能够为正态分布绘制一条像 cumulative distribution function 这样的线，因为它对于模拟采用曲线很有用：

具体来说，我希望能够使用初始数据（产品采用百分比）来推断该曲线的其余部分会是什么样子，从而粗略估计每个阶段的时间表。因此，例如，如果我们在 30 天达到 10% 的渗透率，在 40 天达到 20% 的渗透率，并且我们试图拟合这条曲线，我想知道我们什么时候能够达到 80% 的渗透率（对比另一个可能需要 50 天才能达到 10% 渗透率的人群）。

所以，我的问题是，我该怎么做呢？理想情况下，我能够提供初始数据（时间和渗透），并使用 python（例如 matplotlib）为我绘制图表的其余部分。但我不知道从哪里开始！谁能指出我正确的方向？

（顺便说一句，我也在CrossValidated 上发布了这个问题，但我不确定它是否属于那里，因为它是一个统计问题，或者这里，因为它是一个python 问题。抱歉重复！）

Answer 1

cdf 可以通过scipy.stats.norm.cdf() 计算。它的ppf 可用于帮助映射所需的对应关系。然后scipy.interpolate.pchip 可以创建一个函数来使转换平滑插值。

import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.ticker import PercentFormatter
import numpy as np
from scipy.interpolate import pchip  # monotonic cubic interpolation
from scipy.stats import norm

desired_xy = np.array([(30, 10), (40, 20)])  # (number of days, percentage adoption)
# desired_xy = np.array([(0, 1), (30, 10), (40, 20), (90, 99)])
labels = ['Innovators', 'Early\nAdopters', 'Early\nMajority', 'Late\nMajority', 'Laggards']
xmin, xmax = 0, 90  # minimum and maximum day on the x-axis

px = desired_xy[:, 0]
py = desired_xy[:, 1] / 100

# smooth function that transforms the x-values to the  corresponding spots to get the desired y-values
interpfunc = pchip(px, norm.ppf(py))

fig, ax = plt.subplots(figsize=(12, 4))
# ax.scatter(px, py, color='crimson', s=50, zorder=3)  # show desired correspondances
x = np.linspace(xmin, xmax, 1000)
ax.plot(x, norm.cdf(interpfunc(x)), lw=4, color='navy', clip_on=False)

label_divs = np.linspace(xmin, xmax, len(labels) + 1)
label_pos = (label_divs[:-1] + label_divs[1:]) / 2
ax.set_xticks(label_pos)
ax.set_xticklabels(labels, size=18, color='navy')
min_alpha, max_alpha = 0.1, 0.4
for p0, p1, alpha in zip(label_divs[:-1], label_divs[1:], np.linspace(min_alpha, max_alpha, len(labels))):
    ax.axvspan(p0, p1, color='navy', alpha=alpha, zorder=-1)
    ax.axvline(p0, color='white', lw=1, zorder=0)
ax.axhline(0, color='navy', lw=2, clip_on=False)
ax.axvline(0, color='navy', lw=2, clip_on=False)
ax.yaxis.set_major_formatter(PercentFormatter(1))
ax.set_xlim(xmin, xmax)
ax.set_ylim(0, 1)
ax.set_ylabel('Total Adoption', size=18, color='navy')
ax.set_title('Adoption Curve', size=24, color='navy')
for s in ax.spines:
    ax.spines[s].set_visible(False)
ax.tick_params(axis='x', length=0)
ax.tick_params(axis='y', labelcolor='navy')
plt.tight_layout()
plt.show()

仅对desired_xy 使用两个点，曲线将被线性拉伸。如果给出更多点，将应用平滑变换。这是[(0, 1), (30, 10), (40, 20), (90, 99)] 的样子。请注意，0 % 和 100 % 会导致问题，因为它们位于正无穷大处的负数处。