我遇到了一个随机问题。 :)
A，一种随机算法，判断输入 x 是否为素数。
该算法的工作方式如下：
1- 如果 x 是素数，则 A 输出 YES
2- 如果 x 不是素数，则 A 以 3/4 的概率输出 NO。
如果我们想让算法 A 以至少 1- (1/k) 的概率输出 NO，我们至少应该运行 A 多少次？
注意：一个“否”的答案意味着给定的输入 x 不是素数。
有什么想法吗？
【问题讨论】：
标签： algorithm random statistics complexity-theory amortized-analysis
如果数字x 不是素数，则在算法的n 重复中产生“是”的概率为(1/4)^n = 4^(-n) = 2^(-2n)。
所以，如果你想达到1-(1/k)，你实际上是在寻找概率最高为1/k的False Positive，而从上面我们想要：
2^(-2n) <= 1/k //log_2 on both sides:
-2n <= log(1/k) = log(1)-log(k) = 0 - log(k)
2n >= log(k)
n >= log(k)/2
所以你想选择最小的整数n，比如n >= log(k)/2，以保证True Negative概率为1-1/k。
（注意：所有log()都是以2为底的）。
示例：
如果你想在 99% 的情况下都正确，你实际上是在寻找 1-1/k=0.99，所以 1/k=1/100 和 k=100。
现在，根据上面的公式，注意log_2(100) ~= 6.64，因此最小的n 使得n >= log_2(100)/2 是n==4。
意思是，你需要重复算法4次才能达到99%。
让我们检查一下是否正确：
1-(1/4)^4 = 1-(1/256) ~= 0.996 >= 0.99，所以概率没问题。1-(1/4)^3 = 1-1/64 ~= 0.984 < 0.99 - 所以我们会因n==3 而失败。【讨论】：
n >=[log(k)]/2，添加了一个例子。