向后执行的 Fisher-Yates 洗牌的正确性

Question

根据 wikipedia 以及 Java 标准库的实现，改组 ​​https://en.wikipedia.org/wiki/Fisher–Yates_shuffle（Fisher Yates Shuffle）的工作方式如下：

算法 A：

-- To shuffle an array a of n elements (indices 0..n-1):
for i from n−1 downto 1 do
     j ← random integer such that 0 ≤ j ≤ i
     exchange a[j] and a[i]

或等效

算法 B：

-- To shuffle an array a of n elements (indices 0..n-1):
for i from 0 to n−2 do
     j ← random integer such that i ≤ j < n
     exchange a[i] and a[j]

我的问题是针对以下问题（算法 C）：

算法 C：

-- To shuffle an array a of n elements (indices 0..n-1):
for i from 1 to n−1 do
     j ← random integer such that 0 ≤ j ≤ i
     exchange a[i] and a[j]

算法 A 和算法 B 完全相同。但是 Algo C 与 Algo A 和 Algo B 不同（实际上 Algo C 是 Algo A 反向执行）

算法 C 正确吗？我很迷茫。我使用列联表做了一些卡方检验，看起来这给出了明显正确的统一顺序。

我的问题是算法 C 是否正确？如果正确，为什么几乎看不到哪里？为什么 F-Y shuffle 到处都是同一个方向。

Answer 1

是的，这个算法是正确的，因为它有一个loop invariant，第一个i 元素的每个排列都是同样可能的。当i = 1 时，最初满足不变量，因为一个元素只有一个可能的排列，然后当i = n（即在循环的最后一次迭代之后）时，整个数组的每个排列都是同样可能的。

要了解为什么不变量成立，我们只需要考虑循环的单次迭代。假设第一个i 元素具有所有排列的可能性相同，我们将第一个未混洗的元素（称为x）与直到或包括其自身的随机索引交换。现在考虑初始数组的第一个 i + 1 元素的任意两个排列 P1 和 P2：让 Q1 和 Q2 是第一个 i 元素的排列，这将分别将 P1 和 P2 中的 x 交换为索引 @ 987654330@。由于根据归纳假设，Q1 和 Q2 的可能性相同，并且两种交换的可能性相同，并且 P1 或 P2 发生的唯一方式是分别从 Q1 或 Q2 开始的这些交换，因此得出P1 和 P2 同样可能是结果。

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所以你的算法是正确的，但可能不像 Fisher-Yates 那样广为人知，因为它与 Fisher-Yates 相比没有优势，而且不太明显正确。另外值得注意的是，Fisher-Yates 很容易在 O(k) 时间内从数组中统一采样k < n 不同的元素，而您的算法不能以这种方式进行调整。

Answer 2

专注于为什么它没有被更多人看到（因为其他答案已经表明它是正确的）。

变体在各种情况下可用作优化：

• 如果您只需要一些随机元素，算法 B 会很有用。想想洗一副牌并分发几手牌，然后收集所有牌重新洗牌。使用算法 B，您不必洗牌。
• 算法 A 很有用，因为您可以跳过初始化，https://en.wikipedia.org/wiki/Fisher%E2%80%93Yates_shuffle#The_%22inside-out%22_algorithm
• 如果集合在高级时未知，Algo C 会很有用，但这似乎很深奥。 （所以你随机洗5张牌，然后得到一张新牌，再走一步，然后你就有6张洗牌等）

这些额外的用途意味着算法 B 和 A 将被编码得更多，甚至在其他情况下也会使用。