为什么确定系数 R² 实现会产生不同的结果？

Question

在尝试实现一个用于计算决定系数 R² 的 Python 函数时，我注意到我得到的结果完全不同，具体取决于我使用的计算顺序。

wikipedia page on R² 给出了关于如何计算 R² 的看似非常清楚的解释。我对 wiki 页面上所说的内容的 numpy 解释如下：

def calcR2_wikipedia(y, yhat):
    # Mean value of the observed data y.
    y_mean = np.mean(y)
    # Total sum of squares.
    SS_tot = np.sum((y - y_mean)**2)
    # Residual sum of squares.
    SS_res = np.sum((y - yhat)**2)
    # Coefficient of determination.
    R2 = 1.0 - (SS_res / SS_tot)
    return R2

当我使用目标向量 y 和模型估计向量 yhat 尝试此方法时，此函数产生 -0.00301 的 R² 值。

但是，this stackoverflow post discussing how to calculate R² 接受的答案给出了以下定义：

def calcR2_stackOverflow(y, yhat):
    SST = np.sum((y - np.mean(y))**2)
    SSReg = np.sum((yhat - np.mean(y))**2)
    R2 = SSReg/SST
    return R2

使用与以前相同的 y 和 yhat 向量的方法，我现在得到的 R² 为 0.319。

此外，在同一个 stackoverflow 帖子中，很多人似乎都赞成使用 scipy 模块计算 R²，如下所示：

import scipy
slope, intercept, r_value, p_value, std_err = scipy.stats.linregress(yhat, y)
R2 = r_value**2

在我的情况下产生 0.261。

所以我的问题是：为什么从看似广为接受的来源产生的 R² 值彼此完全不同？计算两个向量之间的 R² 的正确方法是什么？

Answer 1

定义

这是一种符号滥用，通常会导致误解。您正在比较两个不同的系数：

• Coefficient of determination（通常记为R^2）可用于任何OLS回归，不仅是线性回归（OLS在拟合参数而非函数本身方面是线性的）；
• Pearson Correlation Coefficient（平方时通常记为r 或r^2），仅用于线性回归。

如果你仔细阅读维基百科页面上关于确定系数的介绍，你会看到那里有讨论，开头如下：

R2 有几个定义，只是有时 等价的。

MCVE

您可以确认这些分数的经典实现会返回预期结果：

import numpy as np
import scipy
from sklearn import metrics

np.random.seed(12345)
x = np.linspace(-3, 3, 1001)
yh = np.polynomial.polynomial.polyval(x, [1, 2])
e = np.random.randn(x.size)
yn = yh + e

那么你的函数calcR2_wikipedia(0.9265536406736125)返回决定系数，可以确认返回与sklearn.metrics.r2_score相同：

metrics.r2_score(yn, yh) # 0.9265536406736125

另一方面，scipy.stats.linregress 返回相关系数（仅对线性回归有效）：

slope, intercept, r_value, p_value, std_err = scipy.stats.linregress(yh, yn)
r_value # 0.9625821384210018

你可以通过它的定义来交叉确认：

C = np.cov(yh, yn)
C[1,0]/np.sqrt(C[0,0]*C[1,1]) # 0.9625821384210017