R：如何获得两个分布的总和？

Question

我有一个简单的问题。 我想对两个非参数分布求和。

这是一个例子。 有两个城市有 10 个房子。我们知道每个房子的能源消耗。 （已编辑）我想获得从每个城市中选择的随机房屋之和的概率分布。

A1 <- c(1,2,3,3,3,4,4,5,6,7) #10 houses' energy consumption for city A
B1 <- c(11,13,15,17,17,18,18,19,20,22) #10 houses' energy consumption for city B

我有一个 A1 和 B1 的概率分布，如何得到 A1+B1 的概率分布？ 如果我只在 R 中使用A1+B1，它会给出12 15 18 20 20 22 22 24 26 29。但是，我认为这是不对的。因为房子里没有秩序。

当我改变房子的顺序时，它会给出另一个结果。

# Original
A1 <- c(1,2,3,3,3,4,4,5,6,7)
B1 <- c(11,13,15,17,17,18,18,19,20,22)
#change order 1
A2 <- c(7,6,5,4,4,3,3,3,2,1) 
B2 <- c(22,20,19,18,18,17,17,15,13,11)
#change order 2
A3 <- c(3,3,3,4,4,5,6,7,1,2) 
B3 <- c(17,17,18,18,19,13,20,11,22,15)
sum1 <- A1+B1; sum1
sum2 <- A1+B2; sum2
sum3 <- A3+B3; sum3

红线是 sum1、sum2 和 sum3。我不确定如何获得两个分布之和的分布。请给我任何想法。谢谢！

（如果这些分布是正态分布或均匀分布，我可以很容易地得到分布的总和，但这些不是正态分布，没有顺序）

Answer 1

难道不是在添加之前对分布进行排序就可以解决这个问题吗？

A1 <- c(1,2,3,3,3,4,4,5,6,7) #10 houses' energy consumption for city A
B1 <- c(11,13,15,17,17,18,18,19,20,22) #10 houses' energy consumption for city B
sort(A1)+sort(B1)

Answer 2

理论上，两个随机变量的和分布是它们的PDF的卷积，details，为：

PDF(Z) = PDF(Y) * PDF(X)

所以，我认为这种情况可以通过convolution来计算。

# your data
A1 <- c(1,2,3,3,3,4,4,5,6,7) #10 houses' energy consumption for city A
B1 <- c(11,13,15,17,17,18,18,19,20,22) #10 houses' energy consumption for city B

# compute PDF/CDF
PDF_A1 <- table(A1)/length(A1)
CDF_A1 <- cumsum(PDF_A1)

PDF_B1 <- table(B1)/length(B1)
CDF_B1 <- cumsum(PDF_B1)

# compute the sum distribution 
PDF_C1 <- convolve(PDF_B1, PDF_A1, type = "open")

# plotting
plot(PDF_C1, type="l", axe=F, main="PDF of A1+B1")
box()
axis(2)
# FIXME: is my understand for X correct?
axis(1, at=seq(1:14), labels=(c(names(PDF_A1)[-1],names(PDF_B1))))

注意：

CDF：累积分布函数

PDF：概率密度函数

## To make the x-values correspond to actually sums, consider
## compute PDF
## pad zeros in probability vectors to convolve
r <- range(c(A1, B1))
pdfA <- pdfB <- vector('numeric', diff(r)+1L)
PDF_A1 <- table(A1)/length(A1)                        # same as what you have done
PDF_B1 <- table(B1)/length(B1)
pdfA[as.numeric(names(PDF_A1))] <- as.vector(PDF_A1)  # fill the values
pdfB[as.numeric(names(PDF_B1))] <- as.vector(PDF_B1)

## compute the convolution and plot
res <- convolve(pdfA, rev(pdfB), type = "open")
plot(res, type="h", xlab='Sum', ylab='')

## In this simple case (with discrete distribution) you can compare
## to previous solution
tst <- rowSums(expand.grid(A1, B1))
plot(table(tst) / sum(as.vector(table(tst))), type='h')

Answer 3

编辑：

现在我更好地理解了这个问题，并看到了@jeremycg 的回答，我认为我有一种不同的方法，我认为它可以更好地适应样本量。

与其依赖 A1 和 B1 中的值作为分布中的唯一值，我们可以推断这些只是分布中的样本。为了避免对分布施加特定形式，我将使用经验“等效”：样本密度。如果我们使用density 函数，我们可以推断从任一城镇对连续范围的家庭能源使用进行采样的相对概率。我们可以从density()$x 值中随机抽取任意数量的能量（有替换），其中我们采用的sample 用prob=density()$y 加权...即，密度图中的峰值位于 x-应该更频繁地重新采样的值。

作为一种启发式，一个过于简单的陈述可能会说mean(A1) 是 3.8，mean(B1) 是 17，因此这两个城市的能源消耗总和平均应该是 ~20.8。将其用作“是否有意义测试”/启发式，我认为以下方法符合您想要的结果类型。

sample_sum <- function(A, B, n, ...){
    qss <- function(X, n, ...){
        r_X <- range(X)
        dens_X <- density(X, ...)
        sample(dens_X$x, size=n, prob=dens_X$y, replace=TRUE)
    }

    sample_A <- qss(A, n=n, ...)
    sample_B <- qss(B, n=n, ...)

    sample_A + sample_B
}

ss <- sample_sum(A1, B1, n=100, from=0)

png("~/Desktop/answer.png", width=5, height=5, units="in", res=150)
plot(density(ss))
dev.off()

请注意，我将密度图限制在 0，因为我假设您不想推断负能量。我看到合成密度的峰值刚好在 20 以上，所以“这是有道理的”。

这里的潜在优势是，您无需查看两个城市房屋中所有可能的能源组合，即可了解总能源使用的分布情况。如果你能定义两者的分布，你就可以定义成对和的分布。

最后，计算时间是微不足道的，尤其是与查找所有组合的方法相比。例如，每个城市有 1000 万套房屋，如果我尝试执行 expand.grid 方法，我会收到 Error: cannot allocate vector of size 372529.0 Gb 错误，而 sample_sum 方法需要 0.12 秒。

当然，如果答案对你没有帮助，那么速度就一文不值；）

Answer 4

你可能想要这样的东西：

rowSums(expand.grid(A1, B1))

使用 expand.grid 将为您提供 A1 和 B1 的所有组合的数据框，rowSums 将添加它们。