Scipy - 非线性方程组的所有解答案

【问题标题】：Scipy - All the Solutions of Non-linear Equations SystemScipy - 非线性方程组的所有解
【发布时间】：2015-09-01 20:35:24
【问题描述】：

我有一个非线性方程组，其中可以选择任意n，所以向量长度x = (x1,...,xn)可以与众不同。例如，系统可以是这样的：

    f1(x1,...,xn) = sum( xi + xi^2 ) = 0, i={1,n}
    f2(x1,...,xn) = sum( e^xi + xi + sin(xi*pi) ) = 0, i={1,n}

根据this example，我使用 scipy 库的 fsolve() 来求解这样的 NLE，但对于 *x = x0 的每个初始近似，它只返回一个解。但是由于n可以很大（例如n = 100），而且可以有很多解，所以做初始条件不是很有用 x = x0 用于找到每个解决方案。

那么，请给我一个例子，在这种情况下如何通过 fsolve() 找到所有解决方案？还是用其他简单的方法？

附加例如，我有以下简单的系统：

def equations(p):
    x, y = p
    return (x**2-1, x**3-1)

对于不同的初始条件，我有不同的解决方案： x, y = fsolve(方程, (0, 0)) (0.0, 0.0)

x, y =  fsolve(equations, (1, 1))
(1.0, 1.0)

x, y =  fsolve(equations, (-1, 1))
(-0.47029706057873205, 0.41417128904566508)

是否可以使用任何 Scipy 函数（如 fsolve()）来查找所有解决方案（根），例如： x, y = some_scipy_solver(方程, (x0, y0)) 1. (1.0, 1.0) 2. (0.0, 0.0) 3. (-0.47029706057873205, 0.41417128904566508) ...

其中 (x0, y0) = 任何初始近似值：(0, 0),(1, 1),(-1, 1),(0.1, 10.0) 等，我只确定 x0 的约束, y0, 像这样：-1.0

【问题讨论】：

P.S.我已经实现了我需要的功能系统，例如，以及使用 fsolve(sys1, x0) 解决这些系统的模块。因此，如果您也给我举一个 fsolve() 或方法的例子，这将非常有帮助，它可以简单地替换 fsolve((f1, f2), x0) 或 fsolve([f1, f2], x0)。

标签： python numpy scipy equation-solving nonlinear-functions

【解决方案1】：

即使对于单个非线性方程，也很难（或不可能）从数值上找到所有解，更不用说系统了。例如，考虑方程，

sin(1/x) = 0

在区间 [0, 1] 内有无穷多个解：你无法用典型的求根算法解决这个问题。

特别是，scipy.optimize.fsolve 使用局部优化方法来找到给定方程的一个解。从概念上讲，您不能使用它（或 scipy 模块中的任何其他东西，真的）来找到所有可能的解决方案。当然，如果您知道系统有给定数量的解决方案，您可以将初始条件随机设置为fsolve（就像您所做的那样），直到找到所有解决方案。但是没有通用的方法可以解决这个问题。

相反，如果足够简单，您可能会更幸运地使用 sympy 解析解决您的系统。

【讨论】：

我已经听说过 sympy 并且我尝试过 sympy.nsolve，它的工作方式与 scipy 中的 fsolve 相同。所以现在我应该尝试使用 sympy.solve，谢谢您的建议！据我了解， sympy.solve 不给出数值解（仅作为根的分析函数），是吗？
是的，你是对的。 sympy.solve 返回分析根，应该给你所有的解决方案。
不幸的是，分析根为 x1 = f(x2) 不支持我的需求。我只需要数值解 - 我想要得到的最终结果应该是 f1(x1,...,xn) = F(f2(x1,...,xn ))。所以，我只想得到一组点 (x1,...,xn)[1], ..., (x1,...,xn)[m]，数值求解，并绘制点集 (f1(x1,...,xn)[1], f2(x1,...,xn)[1]), ..., (f1(x1,... ,xn)[m], f2(x1,...,xn)[m]).