根据它们之间的距离绘制 4 个点？

Question

我有 4 个点之间的距离。我想在二维网格上绘制这些数据。

我尝试取一点并将其放在 (0,0) 上开始。然后我可以创建代表其他三个点的可能位置的圆圈。一旦达到这一点，我就可以锁定第二点的任意位置。做相同的可能位置，并为第 3 点找到两个可能的位置。我可以选择一个然后找出四个。我知道这是可能的，我可以在纸上得到答案，但我想知道是否有比其他人已经想出的更简单的方法。

如果有人可以为我指出正确的方向，或者让我阅读一些讨论确定这些点所涉及的公式的阅读材料，那就太好了。

谢谢！

我尝试过的：

points = [A, B, C, D] //unknown

angles = [AoA, AoB, AoC, AoD]

distances = [AB, AC, AD, BC, BD, CD] //known

A.x = 0 //seeded value
A.y = 0 //seeded value
B.x = AB
B.y = A.y
C.x = (AB² - BC² + AC²) / (2 * AB) //assume positive answer
C.y = Math.sqrt(BC² - (B.x - C.x)²) - B.y
D.x = ???
D.y = ???

Answer 1

您将拥有一个由六个方程组成的系统：

AB^2 = (A.x - B.x)^2 + (A.y - B.y)^2  EQ[1]
AC^2 = (A.x - C.x)^2 + (A.y - C.y)^2  EQ[2]
AD^2 = (A.x - D.x)^2 + (A.y - D.y)^2  EQ[3]
BC^2 = (B.x - C.x)^2 + (B.y - C.y)^2  EQ[4]
BD^2 = (B.x - D.x)^2 + (B.y - D.y)^2  EQ[5]
CD^2 = (C.x - D.x)^2 + (C.y - D.y)^2  EQ[6]

您的问题本质上是为 8 个变量 Ax,Ay,Bx,By,Cx,Cy,Dx,Dy 解决这些问题，并将它们拟合到 2D 图形中。这允许根据选择的值而崩溃的整个解决方案范围。你这里有一个non-linear equations的系统。有许多不同的方法可以解决这些类型的方程：计算机，例如。 Mathematica、Matlab、Python 等，您可以手动使用Jacobian，或者通过代数操作变量。

您的圆圈可视化是一个很好的起点。从你的第一个点 A 开始，你将有四个同心圆，然后从每个圆上的每个点再开始四个同心圆。问题是this的扩展版本。

在这种情况下，您的优势是您可以选择两个初始值。希望这会为您指明正确的方向。我不确定您想使用哪种方法，但这是您正在处理的问题类型。

这是一张~漂亮的照片：

您的解决方案将沿着这些圆的线及其交点传播。

正如您所看到的，在您做出决定之前，您不会对每个点都有任何明确的答案，但是您可以看到当您选择 A，然后选择与 A 相关的 B，您将有两个选择 C，其中半径为 BC 的圆与半径为 AC 的圆相交。然后你将再次对 D 有两个选择，其中三个圆：从 A 到半径 AD，从 B 到半径 BD，从 C 到半径 CD 相交。

你可以在程序中设置你的方程来对第一个点做出一些任意决定，就像你对A = (0,0)和B = (AB,0)一样，就像输入一个起点，第二个点总是+AB x 方向。然后求解找到方程的两个根，它定义了从 B 到半径为 BC 的圆和从 A 到半径为 AC 的圆。一旦定义了 C，对这三个圆的方程的根执行相同的操作。