高斯数据拟合根据 x 数据的位置而变化

Question

如果我将与该数据相对应的 x 值的间隔（xdata1 到 @987654326 @)。高斯写成：

其中 A 只是一个幅度因子。更改数据的一些值，很容易使其适用于两种情况，但也可以很容易地找到它不适用于xdata1 以及未估计参数协方差的情况。 我在 Windows 7 上使用带有 Python 3.7.1 的 Spyder 中的 scipy.optimize.curve_fit。

import numpy as np
from scipy.optimize import curve_fit
import matplotlib.pyplot as plt

xdata1 = np.linspace(-9,4,20, endpoint=True) # works fine
xdata2 = xdata1+2
ydata = np.array([8,9,15,12,14,20,24,40,54,94,160,290,400,420,300,130,40,10,8,4])

def gaussian(x, amp, mean, sigma):
    return amp*np.exp(-(((x-mean)**2)/(2*sigma**2)))/(sigma*np.sqrt(2*np.pi))

popt1, pcov1 = curve_fit(gaussian, xdata1, ydata)
popt2, pcov2 = curve_fit(gaussian, xdata2, ydata)

fig, ([ax1, ax2]) = plt.subplots(nrows=1, ncols=2,figsize=(9, 4))

ax1.plot(xdata1, ydata, 'b+:', label='xdata1')
ax1.plot(xdata1, gaussian(xdata1, *popt1), 'r-', label='fit')
ax1.legend()
ax2.plot(xdata2, ydata, 'b+:', label='xdata2')
ax2.plot(xdata2, gaussian(xdata2, *popt2), 'r-', label='fit')
ax2.legend()

Answer 1

问题是您第二次拟合高斯的尝试在搜索参数空间时陷入局部最小值：curve_fit 是 least_squares 的包装器，它使用梯度下降来最小化成本函数，这很可能会得到 @987654322 @。

您应该尝试提供合理的起始参数（通过使用curve_fit 的p0 参数）来避免这种情况：

 #...  your code

 y_max = np.max(y_data)
 max_pos = ydata[ydata==y_max][0]
 initial_guess = [y_max, max_pos, 1] # amplitude, mean, std

 popt2, pcov2 = curve_fit(gaussian, xdata2, ydata, p0=initial_guess)

如您所见，这提供了合理的拟合：

您应该编写一个可以提供对起始参数的合理估计的函数。在这里，我刚刚找到了最大 y 值，并用它来确定初始参数。我发现这适用于拟合正态分布，但您可以考虑其他方法。

编辑：

你也可以通过缩放幅度来解决这个问题：幅度太大，参数空间被扭曲，梯度下降只是遵循幅度变化最大的方向，有效地忽略了 sigma。考虑以下参数空间中的图（颜色是给定参数的拟合残差平方和，白色十字表示最优解）：

请务必记下 x 轴和 y 轴的不同比例。

需要在 y（幅度）中进行大量“单位”大小的步长，以从点 x,y = (0,0) 达到最小值，因为您只需要不到一个“单位”步长以达到 x (sigma) 的最小值。该算法只是在幅度上采取步骤，因为这是最陡的梯度。当它达到使成本函数最小化的幅度时，它会简单地停止算法，因为它似乎已经收敛并且对 sigma 参数几乎没有变化。

解决此问题的一种方法是缩放您的 ydata 以不扭曲参数空间：将您的 ydata 除以 100，您将看到您的适合在不提供任何起始参数的情况下工作！