将矩阵列转换为单位向量的快速方法

Question

我有一个矩阵：

S = [  -1.0400    4.9100    4.1000   -3.5450   -0.6600   -0.9300    4.3950   -1.0650    2.9850   -4.9800    0.2100;
   -0.5200   -4.3150   -3.0950    0.5700    4.4700    1.1500    3.1350    0.6450    0.3750   -4.9150   -2.1150; 
    5.0000    5.0000    5.0000    5.0000    5.0000    5.0000    5.0000    5.0000    5.0000    5.0000    5.0000 ];

我想将列转换为单位向量，所以我使用for 循环

for i=1:size(S,2)
    S(:,i) = S(:,i) / norm( S(:,i) );
end

有没有办法在 MATLAB 中更有效地做到这一点？

Answer 1

TLDR

如果您有 MATLAB 2016b 或更新版本，并且没有兼容性问题，我会使用

S = S ./ sqrt(sum(S.^2,1));

编辑：请参阅底部的基准以了解替代品的性能基准。

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上下文

我们可以手动计算范数并按列划分。

根据定义，norm(x) = sqrt( sum( x(:).^2 ) )。我在这里使用了(:) 来表明norm 是在整个矩阵上计算的。对我们有用的是 sum 默认按列工作，因此按列标准定义如下：

nrm = sqrt( sum( x.^2 ) );

请注意，如果您的矩阵 S 有可能只有 1 行，您应该使用 nrm = sqrt(sum(x.^2,1)) 强制执行逐列求和。

现在我们有几个除法选项：

• 隐式扩展（MATLAB R2016b 或更高版本）

  S = S ./ nrm;
  

• 使用 bsxfun 的隐式扩展（所有 MATLAB 版本）

  S = bsxfun( @mrdivide, S, nrm );
  

• 使用 repmat 手动扩展（所有 MATLAB 版本）

  S = S ./ repmat(nrm, size(S,1), 1);
  

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如果您有 MATLAB R2017b 或更新版本，并且再次没有兼容性问题，您可以使用 vecnorm，它可以用来代替手动范数计算

S = S ./ vecnorm(S, 2, 1);

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基准测试：

由于您要求性能，这里有一个简单的基准来测试这些不同方法的速度。特别是您问题中的原始循环与使用 vecnorm 或手动计算的隐式扩展。

• 结果（使用 R2017b 运行）

           size(S):  1e3*1e2  1e5*1e3  1e3*1e6    
           Looping:  0.0005   1.0186   12.7788
   Implicit manual:  0.0001   1.1236   10.4031
  Implicit vecnorm:  0.0002   0.5774    6.8058
  

• 结论

  • 对于相对较小的数组，所有方法都非常快，我会选择代码清晰而不是性能。
  • 如果您只想使用支持它的 MATLAB 版本，vecnorm 对于大型矩阵的速度大约是其他方法的两倍。
  • 对于1e5*1e3 阶的矩阵，循环相当于隐式展开。

• 代码

  function benchie()
      S = rand( 1e3, 1e2 )*5;
  
      f1 = @() loopingNorm(S);
      f2 = @() implicitManual(S);
      f3 = @() implicitVecnorm(S);
  
      fprintf( 'Looping: %.4f\nImplicit manual: %.4f\nImplicit vecnorm: %.4f\n', ...
               timeit(f1), timeit(f2), timeit(f3) );
  end
  function S = loopingNorm(S)
      for ii = 1:size(S,2)
          S(:,ii) = S(:,ii) / norm( S(:,ii) );
      end
  end
  function S = implicitManual(S)
      S = S ./ sqrt(sum(S.^2,1));
  end
  function S = implicitVecnorm(S)
      S = S ./ vecnorm( S, 2, 1 );
  end