【问题标题】：A* vs trees in longest pathA* 与最长路径中的树
【发布时间】：2013-06-10 04:09:52
【问题描述】：

令 T 是一棵树，其中每个节点代表一个状态。根代表初始状态。从父节点到子节点的边指定了可以对父节点执行的操作以更改状态（新状态将是子节点）。每条边都与增益相关联，即，我通过从父状态转换到子状态获得了一些东西。

此外，假设从根到叶节点的每条路径的长度为 Q。

我的目标是找到最有希望的长度为 Q 的路径，即保证最大增益的路径（其中路径增益定义为附加到路径边缘的增益的总和）。

显然，我不想探索整个树，因为 T 可能非常大。

因此，我考虑申请 A*。我知道 A* 可以用来找到图中的最短路径，但是：

最后，我想出了一组我想向你提出的问题：

编辑：给定树中的节点 n，附加到从 n 传出的边的增益不能大于数量 U(n)。而且，随着n的深度增加，U(n)变得越来越小。

【问题讨论】：

【解决方案1】：

分析

原因如下。假设您断言路径P 是最优的，并且没有检查边缘e。我可以在不失一般性的情况下将e 的增益设置为大于树中所有其他增益之和的值。那么你的路径 P 是不是最优的。

因此，在检查所有边的增益之前做出的任何最优性断言都是错误的。

结论

如果没有提供关于边缘增益的其他信息，如果不探索整棵树，您将无法找到最佳路径。

例如，如果您有增益值的上限，则可以使用 A* 来更有效地找到最佳路径，而不是检查每条边。

在撰写此答案后，您对问题所做的更改的回复在下面的 cmets 中。请务必查看它们。

【讨论】：

我确信从节点 n 传出的边的总和不能大于值 U(n)。此外，随着 n 的深度增加，U(n) 变得越来越小（因此，增益也会增加）。是否足以作为上限？
@Eleanore 绑定就足够了。因此，您应该能够完全按照您在问题中步骤 1、2、3 中概述的内容进行操作（我检查了您的推理，似乎是正确的）。 A* 是合适的并且会找到最佳解决方案（假设您的启发式是正确的）。您是正确的，在这种情况下，启发式应该是过度估计。
关于能够使用 A* 和/或使用高估启发式的部分是完全错误的——那是行不通的。不过，Bellman-Ford 可能会处理图的否定，因为它是非循环的，但将花费与蛮力一样长或更长的时间。请参阅 OP 之前提出的this question（所以她已经知道答案...）。
@BlueRaja-DannyPflughoeft 请详细说明为什么它“完全错误”和“不起作用”？否定所有收益，突然之间，您正试图找到从起始节点到叶（目标）节点的最低成本路径。每个节点都有一个后继函数（节点的子节点）。每个动作都有一个成本（否定增益）。否定上面提到的高估启发式，你就会得到一个低估的启发式——这是典型的 A* 所需要的。
@TimothyShields：Dijkstra 和 A* 不适用于具有负权重的图 （并且 A* 不适用于负启发式）

【解决方案2】：

要回答这个问题，A* 通常不是探索树木的正确方法。它适用于加权图，而不是树。如果您正在探索一棵树，则使用回溯。您可以通过使用启发式或修剪使回溯更加智能。

【讨论】：