我在最近的一次采访中被问到这个问题：给定一个 BST，其节点包含一个整数作为值，找到其节点位于整数 X (min) 和 Y (max) 之间的所有子树，其中 X 我已经解决了这个问题的变体，例如 - 打印 BST 的键在给定范围内。但是无法弄清楚这一点，因为它涉及找到满足非常特定约束的主图/树的所有连接子图。任何指针/帮助/伪代码表示赞赏。 添加注释 -
【问题讨论】：
标签： algorithm binary-search-tree tree-traversal range-query
这很容易解决。对于不重叠的子树，我包含了一个标记字段，每个节点都初始化为 false。
算法如下：
使用 DFS 方法从根开始遍历 BST。现在如果在 DFS 中遇到一个节点，它没有被标记并且它满足约束（落在 X 和 Y 之间），那么有一个解决方案，其中一个子树以该节点为根，但我们不知道该子树可以有多大?因此，我们执行以下操作：
将其左右孩子传递给另一个方法检查，它将执行以下操作：
遍历以该节点为根的子树，并以 DFS 方式遍历它，只要满足约束并且遇到的节点未标记。只要违反任何一个条件，就返回。
现在，可以在已标记的顶点上调用原始 DFS 方法，但 if 条件将评估为 false。至此，目标达到了。
我使用 JAVA 语言解决了这个问题，条件是密钥位于 10 到 21 之间（不包括在内）。代码如下：
还有一点，如果以X为根，子节点为子树的子树之后没有打印任何内容，那么它表示一个具有单个节点的子树。
class BST
{
public Node insert(Node x,int key)
{
if(x==null)
return new Node(key,null,null,false);
else if(key>x.key)
{
x.right=insert(x.right,key);
return x;
}
else if(key<x.key)
{
x.left=insert(x.left,key);
return x;
}
else {x.key=key;return x;}
}
public void DFS(Node x)
{
if(x==null)
return;
if(x.marked==false&&x.key<21&&x.key>10)
{
System.out.println("Subtree rooted at "+x.key+" with childs as");
x.marked=true;
check(x.left);
check(x.right);
}
DFS(x.left);
DFS(x.right);
}
public void check(Node ch)
{
if(ch==null)
return;
if(ch.marked==false&&ch.key<21&&ch.key>10)
{
System.out.println(ch.key);
ch.marked=true;
check(ch.left);
check(ch.right);
}
else return;
}
public static void main(String []args)
{
BST tree1=new BST();
Node root=null;
root=tree1.insert(root,14);
root=tree1.insert(root,16);
root=tree1.insert(root,5);
root=tree1.insert(root,3);
root=tree1.insert(root,12);
root=tree1.insert(root,10);
root=tree1.insert(root,13);
root=tree1.insert(root,20);
root=tree1.insert(root,18);
root=tree1.insert(root,23);
root=tree1.insert(root,15);
tree1.DFS(root);
}
}
class Node
{
Node left,right;
int key;
boolean marked;
Node(int key,Node left,Node right,boolean b)
{
b=false;
this.key=key;
this.left=left;
this.right=right;
}
}
如有任何疑问，请随时咨询。
【讨论】：
具体的解决方案取决于子树的定义。考虑以下 BST：
5
3
2
4
8
-
9
我们想要找到[4,8] 范围内的子树。很明显4 节点属于输出。但是另一半树呢？如果一个子树引用一个节点及其所有子节点，那么这就是整个结果。如果子树实际上是输入节点的子集，则节点 5 和 8 属于结果，但它们与 3 和 9 节点的连接必须被剥离。
在任何情况下，以下算法都可以处理。预处理器定义WHOLE_SUBTREES 定义子树是否是具有所有子节点的完整子组件。
static List<BSTNode> FindSubtreesInRange(BSTNode root, int rangeMin, int rangeMax)
{
var result = new List<BSTNode>();
if (IsTreeWithinRange(root, rangeMin, rangeMax, int.MinValue, int.MaxValue, result))
result.Add(root);
return result;
}
static bool IsTreeWithinRange(BSTNode root, int rangeMin, int rangeMax, int treeRangeMin, int treeRangeMax, List<BSTNode> resultList)
{
if (treeRangeMin >= rangeMin && treeRangeMax <= rangeMax)
return true;
if ( treeRangeMin > rangeMax || treeRangeMax < rangeMin)
return false;
if (root.Key < rangeMin)
{
if (root.Right != null && IsTreeWithinRange(root.Right, rangeMin, rangeMax, root.Key + 1, treeRangeMax, resultList))
resultList.Add(root.Right);
return false;
}
if (root.Key > rangeMax)
{
if (root.Left != null && IsTreeWithinRange(root.Left, rangeMin, rangeMax, treeRangeMin, root.Key, resultList))
resultList.Add(root.Left);
return false;
}
if (root.Left == null && root.Right == null)
return true;
if (root.Left == null)
{
#if WHOLE_SUBTREES
if (!IsTreeWithinRange(root.Right, rangeMin, rangeMax, root.Key + 1, treeRangeMax, resultList))
root.Right = null;
return true;
#else
return IsTreeWithinRange(root.Right, rangeMin, rangeMax, root.Key + 1, treeRangeMax, resultList);
#endif
}
if (root.Right == null)
{
#if WHOLE_SUBTREES
if (!IsTreeWithinRange(root.Left, rangeMin, rangeMax, treeRangeMin, root.Key, resultList))
root.Left = null;
return true;
#else
return IsTreeWithinRange(root.Left, rangeMin, rangeMax, treeRangeMin, root.Key, resultList);
#endif
}
var leftInRange = IsTreeWithinRange(root.Left, rangeMin, rangeMax, treeRangeMin, root.Key, resultList);
var rightInRange = IsTreeWithinRange(root.Right, rangeMin, rangeMax, root.Key + 1, treeRangeMax, resultList);
if (leftInRange && rightInRange)
return true;
#if WHOLE_SUBTREES
if (!leftInRange)
root.Left = null;
if (!rightInRange)
root.Right = null;
return true;
#else
if (leftInRange)
resultList.Add(root.Left);
if (rightInRange)
resultList.Add(root.Right);
return false;
#endif
}
思想如下：如果给定节点的只有一个子树位于给定范围内，那么这一定是新子树的根。如果两者都在范围内，则它们不是子树的根。相反，父级应该处理相应的决定。
算法从以下内容开始：我们遍历树并记住键可能在哪个范围内 (treeRangeMin/Max)。这允许快速检查整个子树是否位于给定范围内（IsTreeWithinRange 方法的第一条语句。
如果当前节点的键位于给定范围之外，接下来的两个语句将处理这种情况。那么它的子树中只有一个可能在该范围内。如果是这种情况，则将此子树添加到结果列表中。
接下来，我们检查子树是否存在。如果两者都没有，则当前树完全包含在范围内。
如果只存在一个子树，那么操作会根据我们是否可以拆分树而有所不同。如果我们可以拆分树，会发生以下情况：如果子树不在范围内，我们将其切断并返回 true（因为当前节点包含在给定范围内）。如果我们不能分裂树，我们只是传播递归调用的结果。
最后，如果两个孩子都存在。如果其中一个不在范围内，我们将其切断（如果允许的话）。如果不允许，我们将子树添加到给定范围内的结果列表中。
【讨论】：
这可以递归地完成，并且我们会保留一个子树列表，只要找到符合要求的子树，我们就会将其附加到该列表中。当以参数节点为根的子树完全在范围内时，递归函数返回 true。当子节点的 recusruve 调用返回 true 或 false 时，由调用者决定（父节点）要做什么。例如，如果当前节点值在范围内，并且其子节点的子树也完全在范围内，那么我们只需返回 true。但是如果只有一个孩子的子树在范围内，而另一个不在范围内，那么我们返回 false（因为不是所有当前节点子树都在范围内），但我们也追加了在范围内的孩子列表的范围。如果当前节点值不在范围内，则返回 false，但我们还会检查左子节点或右子节点，如果符合，则将其附加到子树列表中：
def subtree_in_range(root, x, y):
def _subtree_in_range(node):
in_range=True
if node:
if node.val>=x and node.val<=y:
if not _subtree_in_range(node.left):
in_range=False
if node.right and _subtree_in_range(node.right):
l.append(node.right)
elif not _subtree_in_range(node.right):
in_range=False
if node.left:
l.append(node.left)
else:
in_range=False
s=node.left
if node.val<x:
s=node.right
if s and _subtree_in_range(s):
l.append(s)
return in_range
l=[]
if _subtree_in_range(root):
l.append(root)
return l
【讨论】：
在进行范围搜索时，用某种通用语言编写的范围的主力函数可能如下所示：
function range(node, results, X, Y)
{
if node is null then return
if node.key is in [X, Y] then results.add(node.key)
if node.key < Y then range(node.right, results, X, Y)
if node.key > X then range(node.left, results, X, Y)
}
对于子树版本问题，我们需要存储子树根节点而不是键，并跟踪我们是否在子树中。后者可以通过在范围调用中传递子树明智的父级来解决，这也是创建新结构所必需的。所需的功能如下。如您所见，主要变化是一个额外的参数和node.key in [X, Y] 分支
function range_subtrees(node, parent, results, X, Y)
{
if node is null then return
node_clone = null
if node.key is in [X, Y] then
node_clone = node.clone()
if parent is null then
results.add(node_clone)
else
parent.add_child(node_clone)
if node.key < Y then range_subtrees(node.right, node_clone, results, X, Y)
if node.key > X then range_subtrees(node.left, node_clone, results, X, Y)
}
这应该创建一个子树根节点的集合，其中每个子树都是原始树结构的副本。
【讨论】：