为什么我会从 FFT 获得倾斜的频谱？ (Matlab)

Question

我尝试用 Matlab 找到最强的频率分量。它可以工作，但如果数据点和周期没有很好地对齐，我需要对我的数据进行零填充以提高 FFT 分辨率。到目前为止一切顺利。

问题在于，当我过多地进行零填充时，具有最大功率的频率会发生变化，即使一切都很好地对齐并且我希望得到明确的结果。

这是我的 MWE：

Tmax = 1024;
resolution = 1024;
period = 512;

X = linspace(0,Tmax,resolution);
Y = sin(2*pi*X/period);

% N_fft = 2^12; % still fine, max_period is 512
N_fft = 2^13; % now max_period is 546.1333

F = fft(Y,N_fft);
power = abs(F(1:N_fft/2)).^2;

dt = Tmax/resolution;
freq = (0:N_fft/2-1)/N_fft/dt;

[~, ind] = max(power);
max_period = 1/freq(ind)

零填充到2^12 一切正常，但是当我零填充到2^13 时，我得到了错误的结果。似乎太多的零填充会改变频谱，但我对此表示怀疑。我宁愿期待我的代码中有一个错误，但我找不到它。我做错了什么？

编辑： 频谱似乎偏向低频。零填充只是使它可见：

为什么我的频谱偏斜？不应该是对称的吗？

Answer 1

TL;DR：使用更好的窗口函数！

长版：

经过进一步搜索，我终于找到了解释。既不是索引问题，也不是由零填充添加的额外低频分量。矩形窗口的频率响应，加上负频率分量是罪魁祸首。我在 this website 上发现了解释窗口函数。

我做了更多的情节来解释：

顶部： 不加窗的频率响应：两个 delta 峰值，一个在正频率，一个在负频率。我总是绘制积极的部分，因为我没想到需要负频率分量。 中：矩形窗函数的频率响应。它相对较宽，但我不在乎，因为我认为我只有一个峰。 底部：补零信号的频率响应。在时域中，这是窗函数和正弦波的乘积。在频域中，这相当于窗函数的频率响应与完美正弦的频率响应的卷积。由于有两个峰值，窗口的相对较宽的频率响应显着重叠，导致频谱偏斜，因此峰值偏移。

解决方案：避免这种情况的一种方法是使用适当的窗函数，例如汉明窗，以使窗的频率响应小得多，从而减少重叠。

Answer 2

这不是您代码中的错误。它与 DFT 的属性有关（因此也与 FFT，它只是 DFT 的快速版本）有关。

当您进行零填充时，您会增加频率分辨率，尤其是在低端。

在这里您使用正弦波作为测试，因此您基本上是在将有限长度的正弦与有限的正弦和余弦进行卷积（请参阅此处https://en.wikipedia.org/wiki/Fast_Fourier_transform 详细信息），它们的频率几乎相同或更低。

如果您正在执行“正确的”fft，即从 -inf 到 +inf 进行积分，即使是那些低频分量也会为您提供 FFT 的零系数，但由于您正在执行有限求和，因此这些卷积的结果不为零，因此实际计算的傅立叶变换不准确。

Answer 3

这是您做错了什么（主要是分辨率问题）的图形说明。 编辑：这显示了每个 fft 数据点的功率，映射到 2^14 数据集的索引。也就是说，编号为 1,2,3 的 2^13 数据的索引映射到此图上的 1,3,5；编号为 1,2,3 的 2^12 数据的索引映射到 1,5,9；等等。

。 您可以看到“真实”值实际上不应该是 512——您的索引偏离了 1 或 1 的一小部分。