具有 OR 逻辑的 LP / MILP 公式答案

【问题标题】：LP / MILP formulation with OR logic具有 OR 逻辑的 LP / MILP 公式
【发布时间】：2020-03-07 05:06:47
【问题描述】：

我正在使用 ILOG CPLEX 解决 LP / MILP 问题。

int n = ...;
range time =1..n;

dvar float+ c[time] in 0..0.3;
dvar float+ d[time] in 0..0.3;
dvar float+ x[time];

int beta[time]=...;
float pc[time]=...;
float pd[time]=...;

//Expressions

dexpr float funtion = sum(t in time) (d[t]*pd[t]-c[t]*pc[t]); 

//Model

maximize function;

subject to {

    x[1] == 0.5;
    c[1] == 0;
    d[1] == 0;

    forall(t in time)
        const1:
            x[t] <= 1;          

    forall(t in time: t!=1)
        const2:
            (x[t] == x[t-1] + c[t] - d[t]);         

    forall(t in time: t!=1)
        const3:         
            ( d[t] <= 0) || (c[t] <= 0);

如您所见，我已使用“const3”强制 c[t] 和 d[t] 永远不要大于 0。

我的问题是，如何在 LP/MILP 数学公式中表示此约束？

添加这个新变量是否足够？：

y[t]≤c[t]+d[t]

y[t]≥c[t]

y[t]≥d[t]

0≤y[t]≤M（M为c或d的最大值）

【问题讨论】：

标签： optimization mathematical-optimization linear-programming cplex mixed-integer-programming

【解决方案1】：

据我所知，您建议的约束条件允许此设置：

c[t] = 0.1
d[t] = 0.1
y[t] = 0.2

c 和 d 同时不为 0。

我可以看到这些选项来制定您的条件而没有逻辑限制：

1) 使用仅包含 c[t] 和 d[t] 的 SOS 约束。根据 SOS 的定义，在任何可行的解决方案中，两者中只有一个可以是非零的。

2) 使用 boolean 变量 y[t] 并添加约束

c[t] <= M * y[t]
d[t] <= M * (1 - y[t])

3) 同样，使用布尔值y[t]，然后使用指标约束

(y[t] == 0) => (c[t] == 0);
(y[t] == 1) => (d[t] == 0);

4) 您可以只声明c[t] * d[t] == 0，但这会使模型非线性。

在任何情况下，求解器都可能能够将您的原始公式减少到 2 或 3。因此重新制定约束可能不会使事情变得更快，而只会变得更加模糊。

【讨论】：