我有一个问题陈述：如果您有一个元素数组 {x1,x2,x3,...x10}，请找到元素组合，使其总和高于阈值（例如阈值值为 100)。
所以如果存在x2+x5+x8 = 105、x3+x5+x8=103和x4+x5 = 101这样的组合，那么算法应该输出X4、X5。
背包算法发出的值接近但位于阈值较小的一侧（此处为 100）。我想要相反，即大于 100 的选定元素的最小总和。
是否有任何算法集或任何算法的任何特殊情况可以解决这个问题？
【问题讨论】：
标签： algorithm optimization mathematical-optimization genetic-algorithm knapsack-problem
假设X 是所有x_i 的总和。然后等效地，您要求您的x_i 的最小子集，其总和最多为X - 100（因为这些x_i 的补充将是您问题的最佳解决方案）。所以所有的背包理论都可以在这里应用。
在实践中（非常大的实例），我建议使用 this 形式的 Nemhauser-Ullman 泛化，它可以解决具有数百万个对象的实例。
【讨论】：
首先我会注意到您要求的最小值严格大于某个目标。一般来说，“严格大于”和“严格小于”约束比“大于或等于”或“小于或等于”约束要困难得多。如果您有所有整数值，那么您可以简单地将您的约束“总和超过 100”转换为“总和大于或等于 101”。我假设你已经为剩下的问题做了这样的转变。
一种方法是将其视为整数优化问题，其中每个数字的二元决策变量y_i 是我们是否包含它。那么我们的目标是最小化数字的总和，可以建模为：
min x_1*y_1 + x_2*y_2 + ... + x_n*y_n
这种情况下的约束是数字的总和至少为 100：
x_1*y_1 + x_2*y_2 + ... + x_n*y_n >= 100
一般来说，这是一个难题（请注意，它至少与子集和问题一样难，即 NP 完全问题）。然而，现代优化求解器可能对您的问题实例足够有效。
要测试免费求解器对该问题的可扩展性，请考虑使用 R 中的 lpSolve 包实现以下实现（如果问题可行，则返回所选子集，否则返回 NA）：
library(lpSolve)
min.subset <- function(x, min.sum) {
mod <- lp("min", x, matrix(x, nrow=1), ">=", min.sum, all.bin=TRUE)
if (mod$status == 0) {
which(mod$solution >= 0.999)
} else {
NA
}
}
min.subset(1:10, 43.5)
# [1] 2 3 4 5 6 7 8 9
min.subset(1:10, 88)
# [1] NA
为了测试可扩展性，我将从[1, 2, ..., 1000] 中随机选择n 元素，将目标总和设置为元素总和的一半。运行时是：
n=100，它在 0.01 秒内运行n=1000，运行时间为 0.1 秒n=10000，运行时间为 8.7 秒看来您可以解决超过 10k 个元素（使用所选分布）的问题，而无需太多计算挑战。如果您的问题对于我在这里使用的免费求解器来说太大了，您可以考虑 Gurobi 或 cplex，这两个商业求解器可免费用于学术用途，但在其他方面不是免费的。
【讨论】：