找到具有最小元素和的子矩阵答案

【问题标题】：Finding sub-matrix with minimum elementwise sum找到具有最小元素和的子矩阵
【发布时间】：2014-09-21 03:42:01
【问题描述】：

我有一个对称的m-by-m 矩阵A。每个元素都有一个介于 0 和 1 之间的值。我现在想选择 A 的 n 行/列，它们形成 n-by-n 子矩阵 B。

选择这些元素的标准是B 的所有元素之和必须是A 的所有可能的n-by-n 子矩阵中的最小值。

例如，假设 A 是一个 4×4 矩阵：

A = [0 0.5 1 0; 0.5 0 0.5 0; 1 0.5 1 1; 0 0 1 0.5]

而n 设置为3。那么，最好的B 是取A 的第一、第二和第四行/列的那个：

B = [0 0.5 0; 0.5 0 0; 0 0 0.5]

其中这些元素的总和为 0 + 0.5 + 0 + 0.5 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0.5 = 1.5，它小于另一个可能的 3×3 子矩阵（例如，使用第一个，第三和第四行/列）。

我该怎么做？

这部分是数学问题，部分是 Matlab 问题。任何一个方面的帮助都会很棒！

【问题讨论】：

A 对称性如何？
第i^行和第i^列相同，所以A等于A的转置。对吗？
是的，对不起，我的错误，弄糊涂了。
但是您示例中的 B 实际上不是 B = [0 0.5 1; 0.5 0 0.5; 1 0.5 1] 吗？我错过了什么？
我认为 B 值是正确的（意味着它是每个定义的正确矩阵子集），它只是用第一、第二和第四行/列创建的。（不是第一，第二和第三）

标签： matlab matrix

【解决方案1】：

执行以下操作：

m = size(A,1);
n=3;
sub = nchoosek(1:m,n); % (numCombinations x n)
subR = permute(sub,[2,3,1]); % (n x 1 x numCombinations), row indices
subC = permute(sub,[3,2,1]); % (1 x n x numCombinations), column indices
lin = bsxfun(@plus,subR,m*(subC-1)); % (n x n x numCombinations), linear indices
allB = A(lin); % (n x n x numCombinations), all possible Bs
sumB = sum(sum(allB,1),2); % (1 x 1 x numCombinations), sum of Bs
sumB = squeeze(sumB); % (numCombinations x 1), sum of Bs
[minB,minBInd] = min(sumB);
fprintf('Indices for minimum B: %s\n',mat2str(sub(minBInd,:)))
fprintf('Minimum B: %s (Sum: %g)\n',mat2str(allB(:,:,minBInd)),minB)

这仅查找行索引与列索引相同且不一定连续的子矩阵。我就是这样理解这个问题的。

【讨论】：

通过对A 矩阵进行卷积，您无需搜索所有组合。在下面检查我的解决方案。它有效！

【解决方案2】：

尝试将矩阵A 与更小的矩阵M 进行卷积。例如，如果您有兴趣找到 3x3 子矩阵，那么让 M 成为 ones(3)。这段代码展示了它是如何工作的。

A = toeplitz(10:-1:1) % Create a to eplitz matrix (example matrix)
m = 3; % Submatrix size
mC = ceil(m/2); % Distance to center of submatrix
M = ones(m);
Aconv = conv2(A,M); % Do the convolution.
[~,minColIdx] = min(min(Aconv(1+mC:end-mC,1+mC:end-mC))); % Find column center with smallest sum
[~,minRowIdx] = min(min(Aconv(1+mC:end-mC,minColIdx+mC),[],2)); % Find row center with smlest sum
minRowIdx = minRowIdx+mC-1 % Convoluted matrix is larger than A
minColIdx = minColIdx+mC-1 % Convoluted matrix is larger than A
range = -mC+1:mC-1
B = A(minRowIdx+range, minColIdx+range)

这个想法是模仿一个冷杉过滤器y(n) = 1*x(n-1)+1*x(n)+1*x(n+1)。现在它只找到第一个最小的矩阵。注意 +1 调整，因为第一个矩阵元素是 1。然后注意下面的恢复。

【讨论】：

好的，代码已编辑，现在可以使用了，抱歉。优点是这段代码很简单，没有使用复杂且难以理解的函数。我不确定效率，但卷积应该非常有效。它至少比@Daniel 快 500 倍。
此外，如果需要所有组合，可以使用 find(myMtx = min(myMtx))。但是，通常您不会有总和相等的子矩阵。
我理解的问题是行索引和列索引必须相同。此外，当我使用 A=rand(10) 作为测试矩阵时，我的代码得到了一个较小的 sum(B(:))。

【解决方案3】：

这有点蛮力，但应该可以工作

A = [0 0.5 1 0; 0.5 0 0.5 0; 1 0.5 1 1; 0 0 1 0.5];

sizeA = size(A,1);
size_sub=3;


idx_combs = nchoosek(1:sizeA, size_sub);

for ii=1:size(idx_combs,1)
    sub_temp = A(idx_combs(ii,:),:);
    sub = sub_temp(:,idx_combs(ii,:));

    sum_temp = sum(sub);
    sums(ii) = sum(sum_temp);
end

[min_set, idx] = min(sums);

sub_temp = A(idx_combs(idx,:),:);
sub = sub_temp(:,idx_combs(idx,:))

【讨论】：