如何使用 R 最小化线性规划模型中的设置成本答案

【问题标题】：How to minimize setup cost in linear programming model using R如何使用 R 最小化线性规划模型中的设置成本
【发布时间】：2015-09-17 16:56:12
【问题描述】：

假设我们有一个矩阵 m：

使用机器 M1-M3 和客户 C1-C2。这些值表示每台机器可以为特定客户生产的产品量，例如如果使用 M1，它将为 C1 生成 70 个项目，为 C2 生成 80 个项目。

我想使用以下约束条件，仅最小化满足需求所需的所有机器的设置成本：

每位客户的需求 >= 120；每台机器的设置成本 = 如果用于任何客户，则为 1，否则为 0。

对于这个简单的示例，解决方案是使用机器 M1 和 M2（为 C1 生产 120 个，为 C2 生产 141 个），导致总设置成本为 2。唯一可行的选择是使用机器 M1、M2 和M3，但这会导致设置成本为 3，因此不是最优的。

如何使用 R 来解决这个问题？我查看了一些使用lpSolve 的示例，但我很难对设置成本进行建模，以便它们在机器产生任何东西时为 1，否则为 0。

【问题讨论】：

标签： r optimization linear-programming

【解决方案1】：

诀窍是为每台机器的设置成本创建一个二进制变量。（它是一个指示变量。）

英文

如果机器 2 产生任何东西，那么二进制变量 setup_2 = 1

如果机器 2 不产生任何结果，则 setup_2 = 0

每台机器都需要一个这样的二进制变量。

设置约束（公式）

设 BigM 是一个大数。设X_mj 为机器 m 为客户 j 执行的作业数。

Sum(over all jobs) X_machine_job - BigM * setup_machine <= 0

如果任何 X_mj 变量不为零，则强制 setup_machine 变量变为 1，这正是我们想要的。

这是唯一的技巧。其余的配方是常规的。这是您使用lpSolveAPI.的完整示例

R 代码

（代码未优化。写得更容易理解。）

library(lpSolveAPI)
lpAssign <- make.lp(ncol=9) #3 columns for SETUP variable (Binary) + 6 columns: 3 machines * 2 customers
#The first 3 columns are the setup variables (binary)
set.type(lpAssign, c(1,2,3), "binary")
add.constraint(lpAssign, c(1,1,1), type=">=", rhs=120, indices=c(4,6,8)) #meet demand for customer 1
add.constraint(lpAssign, c(1,1,1), type=">=", rhs=120, indices=c(5,7,9))

#capacity constraints (6 of them)
add.constraint(lpAssign, 1, type="<=", rhs=70, indices=c(4))
add.constraint(lpAssign, 1, type="<=", rhs=80, indices=c(5))
add.constraint(lpAssign, 1, type="<=", rhs=50, indices=c(6))
add.constraint(lpAssign, 1, type="<=", rhs=61, indices=c(7))
add.constraint(lpAssign, 1, type="<=", rhs=45, indices=c(8))
add.constraint(lpAssign, 1, type="<=", rhs=40, indices=c(9))

#setup cost variable constraint for each machine 
BigM <- 1e6
add.constraint(lpAssign, c(-1*BigM,1,1), type="<=", rhs=0, indices=c(1,4,5))
add.constraint(lpAssign, c(-1*BigM,1,1), type="<=", rhs=0, indices=c(2,6,7))
add.constraint(lpAssign, c(-1*BigM,1,1), type="<=", rhs=0, indices=c(3,8,9))

set.objfn(lpAssign, c(1,1,1,0,0,0,0,0,0)) #All we care about is SET UP cost minimization

write.lp(lpAssign, "MinSetupLp.lp", "lp")#write it out

验证

> solve(lpAssign)
[1] 0
> sol <- get.variables(lpAssign)
> sol
[1]  1  1  0 70 80 50 40  0  0
> get.objective(lpAssign)
[1] 2

【讨论】：

出于好奇，您发布的第一行代码是做什么的？我不是一个 R 忍者，但我从未见过类似的东西——一个函数调用，其中有一个带空格的参数，后跟一个表达式，全部评估为布尔值？还是说是伪代码？
@Paul 我认为这更接近数学表达式，但可以很容易地将其解释为伪代码。我真的不认为它打算成为 R 代码。

【解决方案2】：

阅读MOSEK modeling manual http://docs.mosek.com/generic/modeling-letter.pdf 的第 6 章，特别是第 6.2 节和其中的示例 6.1。这准确地告诉您如何使用二进制变量来模拟您的情况。然后在 lpsolve 中实现该方法，它允许您需要的二进制变量。

【讨论】：