最小化 x 的函数

Question

我有一个函数需要最小化，

x1,y1,x2,y2,v2,v1 是给我的。我必须为任何 x 找到这个函数的全局最小值。

我发现函数的全局最小值将在 min(x1,x2) 和 max(x1,x2) 之间的 x 并且范围之间的函数应该是 U 形曲线。所以，取 low=min(x1,x2) 和 high=max(x1,x2)，我做了一个二分查找，我取了一个效率参数 e=0.000001 并在二分查找中给出了以下条件

如果(f(中+e)

但是，我没有得到正确的结果。我正在寻找小数点后 6-7 位的精度。任何代码/伪代码形式的帮助将不胜感激。

Answer 1

这个问题看起来是非凸的，这通常是一个问题，因为非凸优化非常困难。特别是结合对高精度解决方案的需求。一般来说，这是不可行的（找到任何全局最小值），但是对于这么小的问题有机会（但准确性可能仍然是一个问题）。

以下代码（python + scipy + pyomo + couenne）只是一些可能的方法的一些演示。最好的方法当然是利用函数的一些特性。

• scipy：开源通用科学函数库
• pyomo：开源线性/非线性数学规划库
• couenne：开源全局 MINLP 求解器

大体思路是：

• 使用经过充分测试的标量最小化算法，如brent's algorithm 来解决您的问题
  • 这对您来说可能已经足够了（但不能保证全局解决方案）
  • 应该支持大多数语言
• 与使用求解器 couenne 的非凸/非线性 MINLP 方法进行比较
  • 查看 couenne 的文档以了解发生了什么
• 只是为了好玩：使用couenne的解决方案并尝试对其进行抛光
  • 使用上述标量最小化方法（这次：更保守/安全的方法golden 和bounded；brentq 使用了一些重要的技巧来加速收敛）以 couenne 的全局最小值为界（并扩大一些小常数 eps)

代码

from __future__ import division
from scipy.optimize import minimize_scalar, brute
import math

""" Constants """
x1 =3
x2 = 1
y1 = 0.5
y2 = 3
v1 = 2
v2 = 2

""" Scipy-based 1d-minimization using brentq (local-optimal) """
def f(x):
    return math.sqrt(x**2 - 2*x1*x + x1**2 + y1**2) / v1 + \
           math.sqrt(x**2 - 2*x2*x + x2**2 + y2**2) / v2
res = minimize_scalar(f)
print('Brentq: ', res.x)


""" Pyomo + Couenne based minimization (global-optimal) """
from pyomo.environ import *
from pyomo.opt import SolverFactory

model = ConcreteModel()
model.x = Var()
model.obj = Objective(expr=sqrt(model.x**2 - 2*x1*model.x + x1**2 + y1**2) / v1 + \
                           sqrt(model.x**2 - 2*x2*model.x + x2**2 + y2**2) / v2, sense=minimize)

opt = SolverFactory('couenne')
results = opt.solve(model)
print('Couenne: ', model.x.value)

""" Reopt 1d-minimization ("golden" + "bounded") with obtained bounds by couenne """
eps = 0.001
res = minimize_scalar(f, method='bounded', bounds=(model.x.value - eps, model.x.value + eps),
                         options={'xatol': 1e-9, 'maxiter': 1000})
print('Couenne reopt (bounded): ', res.x)

res = minimize_scalar(f, method='golden', bounds=(model.x.value - eps, model.x.value + eps),
                         options={'xtol': 1e-9})
print('Couenne reopt (golden): ', res.x)

输出

Brentq: 
2.71428567406
f(x)
2.01556443707

Couenne: 
2.71428571429
f(x)
2.01556443707

Couenne reopt (bounded): 
2.71428573487
f(x)
2.01556443707

Couenne reopt (golden): 
2.71428570645
f(x)
2.01556443707

这些优化器的性能可能在很大程度上取决于您选择的问题常量。你必须决定走哪条路。我不知道您使用的是哪种语言以及可用的库。