依赖选择的背包问题

Question

就像经典的背包问题一样，我们要最大化总价值，同时不要让总重量超过容量，并且它们的值和重量是独立的。但是，对于某些项目，如果要选择它，则必须选择其他一些项目。

例如：有 item_1, item_2, ..., item_n。如果要选择item_1，则必须选择item_3和item_5，如果要选择item_3，则必须选择item_2，item_7，item_9...等。

依赖是独立的，也就是说，如果我们绘制依赖图，它只是一个“有向图”。

首先，我注意到“优先约束背包问题”和“部分有序背包问题”，但在我的问题中，依赖关系不遵循反对称（即，依赖图可能包含循环）。

我发现的最接近的问题是“set-union knapsack problem”

给定一组物品，选择总值最大的子集，条件是所选物品的总重量不超过固定容量。一组项目的总值是各个值的总和，总重量是各个权重的总和。在 Set-Union Knapsack Problem 中，每个项目都有一个值，但每个项目都对应一组元素，而不是重量。每个元素都有一个权重。一组项目的总值是各个值的总和，而总权重是对应集合并集中元素的权重之和。

但它只是联合“权重”，有些项目的值可能会累积多次。

有什么办法可以有效解决这个问题？

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已编辑：

我找到了一种可以利用一些近似算法的方法

步骤 1. 制作有向依赖图

步骤2. 将此图转移到组件图（使用DFS寻找强连通组件）以去除循环

第 3 步。所以现在，这变成了“优先级约束背包问题”或“部分有序背包问题”。这些都是强NP完全的，但是有很多论文都在谈论这个，并且可以找到一个近似算法来解决。

Answer 1

在选择项目之前，您必须检查天气项目是否会创建周期，如果它创建周期然后丢弃它并移至下一个项目。为此，您可以使用 Kruskal 的算法。